Könnt ihr bitte bei der Fehlersuche helfen? Ich komme einfach nicht weiter. Das liegt mit Sicherheit am enumerate. Und nach ner Stunde googlen weiß ich trotzdem nicht mehr.
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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{{\LARGE Testat - Algebra / Analysis \\\vspace{0.4cm} 20.01.215 \\\vspace{0.4cm} von Kristan Schneider\\\vspace{0.4cm}}}
\end{center}
\begin{question}[type=exam]{4}
Die Aussagenformen (Mit Wahrheitstabelle begr\"unden!)\par
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $A\Rightarrow B$ und $\lnot (A)\land\lnot (B))$ sind \"aquivalent! $\square$ wahr $\square$ falsch $\square$ unentscheidbar
\item $\lnot (A\lor B)$ und $(\lnot A)\land (B)$ sind \"aquivalent! $\square$ wahr $\square$ falsch $\square$ unentscheidbar
\end{enumerate}
\end{question}
\begin{question}[type=exam]{4}
\begin{enumerate}
\item Die Verneinung von:~ \glqq $\forall~x\in M:x\in G$\grqq~ ist \glqq $\exists~x\in M:x\notin G$\grqq ?\par
$\square$ wahr $\square$ falsch $\square$ unentscheidbar\par
\item Die Verneinung von:~ \glqq $\forall~x\in M:\exists~y\in G:y<x$\grqq~ ist \glqq $\exists~x\in M:\forall~y\in~G:x\geq y$\grqq ?\par
$\square$ wahr $\square$ falsch $\square$ unentscheidbar\par
\item Die Verneinung von:~ \glqq $\exists~x\notin M:\forall~y\in G:y\neq~x$\grqq~ ist \glqq $\exists~x\notin M:\forall~y\in~G:x=y$\grqq ?\par
$\square$ wahr $\square$ falsch $\square$ unentscheidbar\par
\item Die Verneinung von:~ \glqq $\forall~x\in M:\forall~y\in G:y\neq~x$\grqq~ ist \glqq $\exists~x\notin M:\forall~y\in~G:x=y$\grqq ?\par
$\square$ wahr $\square$ falsch $\square$ unentscheidbar\par
\end{enumerate}
\end{question}
\begin{question}[type=exam]{4}
\begin{enumerate}
\item Es sei $G$ eine beliebige Menge. Eine Relation auf $G$ ist eine Teilmenge $R$ des kartesischen Produktes $G\times G$. $\square$ wahr $\square$ falsch $\square$ $G\neq\emptyset$ muss gelten $\square$ falsch, $G$ muss eine endliche Menge sein \par
\item Es sei $G={3,4,6,8}$ die Relation $R={(3,3),(4,4),(6,6),(8,8),(3,6),(6,3),(4,8),(8,4)}$ ist\par $\square$ reflexiv $\square$ transitiv $\square$ symmetrisch
$\square$ gar keine Relation $\square$ antisymmetrisch $\square$ eine Relation auf $G\times G$ aber nicht auf $G$\par
\item Eine Relation 2-stellige Realtion $R$ auf einer Menge $G$ kann\par
- niemals transitiv und ati-symmetrisch sein $\square$ wahr $\square$ falsch\par
- reflexiv und symmetrisch sein\par
- mehr als zwei der Eigenschaften \glqq reflexiv\grqq,~ \glqq symmetrisch\grqq,\glqq antisymmetrisch\grqq,~\glqq transitiv\grqq,~ gleichzeitig erfüllen $\square$ wahr $\square$ falsch
\end{enumerate}
\end{question}
\begin{question}[type=exam]{4}
Kreuzen Sie alle richtigen Aussagen an! Die imaginäre Einheit wird mit $i$ bezeichnet.
\begin{enumerate}
\item In den komplexen zahlen hat jedes Polynom $n$-ten Grades \par
$\square$ mindestens $n$ paarweise verschiedene Nullstellen \par
$\square$ unter Berücksichtigung der Vielfachheit genau $n$ Nullstellen \par
$\square$ im allgemeinen nur dann $n$ Nullstellen, wenn die koeffizienten reelle Zahlen sind. \par
\vspace{0.2cm}
\item Es gilt \par
$\square$ $(3i+1)(2i+1)=7+5i$ \par
$\square$ $(3i+1)(2i+1)=5-(-1+i)$ \par
$\square$ $(3i+1)(2i+1)=5i-1$ \par
\item Es gilt \par
$\square$ $\sqrt{-8+6i}=\pm(1+3i)$ \par
$\square$ $\sqrt{-8+6i}=\pm(1-3i)$ \par
$\square$ $\sqrt{-8+6i}=\pm(i\sqrt{8}-i\sqrt{3})$ \par
\item Es gilt \par
\begin{tabular}[t]{lr}
$\square$ $\mid a+ib \mid = \mid a \mid + \mid b \mid$ & $\forall a,b \in$ $\mathbb{R}$\%\\
$\square$ $\mid a+ib \mid = a^2+b^2$ & $\forall a,b \in$ $\mathbb{R}$\%\\
$\square$ $\sqrt{-8+6i}=\sqrt{b^2+a^2}$ & $\forall a,b \in$ $\mathbb{R}$\%\\
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{question}
\begin{question}[type=exam]{4}
Sei $K$ ein Körper. Für eine lineare Abbildung $\varphi : K^m \rightarrow K^n (n,m \in \mathbb{N} \setminus \lbrace0\rbrace)$ mit dazugehöriger Matrix $A$ gilt: (alle Antworten begründen)
\begin{enumerate}
\item $\varphi$ kann nicht surjektiv sein wenn $n>m$\par
$\square$ wahr $\square$ falsch $\square$ unentscheidbar\par
\item $\varphi$ kann nicht injektiv sein wenn $n>m$\par
$\square$ wahr $\square$ falsch $\square$ unentscheidbar\par
\item Die $n\times n$ Matrix $A$ ist nicht invertierbar wenn $m<n$\par
$\square$ wahr $\square$ falsch $\square$ unentscheidbar\par
\item det $A=0$ wenn $m>n$\par
$\square$ wahr $\square$ falsch $\square$ unentscheidbar\par
\end{enumerate}
\end{question}
\begin{question}[type=exam]{4}
Eine der unten angeführten Formeln stimmt $\forall n \in \mathbb{N}$ und $\forall q \in \mathbb{R} \setminus \lbrace1\rbrace$. Kreuzen Sie die richtige an und beweisen Sie diese mittels vollständiger Induktion:\par
$\square~q^0+q^1+q^2+q^3+...+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$\par\vspace{0.1cm}
$\square~q^0+q^1+q^2+q^3+...+q^n=\dfrac{1-q^{n}}{1-q}$\par\vspace{0.1cm}
$\square~q^0+q^1+q^2+q^3+...+q^n=\dfrac{1-q^{n+2}}{1-q}$\par\vspace{0.1cm}
$\square~q^1+q^2+q^3+...+q^n+q^{n+1}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$\par\vspace{0.1cm}
\end{question}
\begin{question}[type=exam]{4}
Gegeben ist die Matrix: $M=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 13 \\
0 & -1 & 5 & 7 \\
3 & 5 & 11 & 3
\end{pmatrix}
$
\begin{enumerate}
\item Es gilt: (Begründung durch nachrechnen!)\par
$\square~det M=6$ $\square~det M=8$ $\square~det M=0$ $\square~det M=-6$\par
\item Es gilt: (Begründung durch nachrechnen!)\par
$\square~Rg M=1$ $\square~Rg M=4$ $\square Rg~M=3$ $\square~Rg M=-1$
\end{enumerate}
\end{question}
\begin{question}[type=exam]{4}
Gegeben ist die Matrix: $A=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 \\
0 & 2 & 1 \\
2 & 2 & 2
\end{pmatrix}
$
\begin{enumerate}
\item Die Matrix questionefasst über $K=R$ ist invertierbar.
$\square$ wahr $\square$ falsch $\square$ unentscheidbar\par
(Begründung: Falls \glqq wahr\grqq,~ berechnen Sie die inverse Matrix mit dem Gauß'schen Algorithmus.)\par
\item Die Matrix questionefasst über $k=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ist invertierbar.\par
$\square$ wahr $\square$ falsch $\square$ unentscheidbar\par
(Begründung: Falls \glqq wahr\grqq,~ berechnen Sie die inverse Matrix mit dem Gauß'schen Algorithmus.)\par
\end{enumerate}
\end{question}
\begin{question}[type=exam]{4}
\begin{enumerate}
\item Eine reelle Folge $(Xn)$ heißt konvergent gegen den Grenzwert $X(lim~x_n=x):\Leftrightarrow n\rightarrow\infty$ $\forall \varepsilon>0$ gilt: $\exists N=N(\varepsilon)$, so dass $\forall n > N$ gilt $:xn=x$.\par
$\square$ wahr $\square$ falsch $\square$ unentscheidbar\par
(falls \glqq wahr\grqq,~ geben Sie ein Beispiel einer konvergenten Folge an, falls \glqq falsch\grqq,~ geben Sie eine korrekte Definition an!)\par
\item Es gilt: (Begründung durch nachrechnen)\par
$\square$ $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n}:\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\infty$\par\vspace{0.1cm}
$\square$ $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n}:\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\nexists$\par\vspace{0.1cm}
$\square$ $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n}:\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=0$\par\vspace{0.1cm}
\end{enumerate}
\end{question}
\begin{question}[type=exam]{4}
\begin{enumerate}
\item Eine reelle Funktion $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ heißt stetig im Punkt $x_0:\Leftrightarrow\forall\delta>0~\exists~\varepsilon>0$, so dass $\forall x \in \mathbb{R}$ mit $\mid x-x_0\mid < \varepsilon \Rightarrow\mid f(x)-f(x_0)\mid < \varepsilon$.\par
$\square$ wahr $\square$ falsch $\square$ unentscheidbar\par
(falls falsch geben Sie eine korrekte Definition an!)\par
\item Gegeben ist die Funktion $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R};g(x)=\frac{\sqrt{x^2+3}}{x-1}$\par
$\square$ $g$ ist auf ganz $\mathbb{R}$ stetig\par
$\square$ $g$ ist auf $\mathbb{R}\setminus\lbrace1\rbrace$ stetig\par
$\square$ man m\"usste zuerst $g'(x)$ berechnen und kann erst dann etwaige Unstetigkeitsstellen bestimmen.\par
(Begründen Sie ihre Antwort!)
\end{enumerate}
\end{question}
\end{document}
