Zeilenabstand zu groß wegen Brüchen

[Peter1247]

Hallo,
in dem folgenden Code habe ich mehrmals statt eines normalen Bruches den Befehl \dfrac benutzt, um die Brüche schöner zu machen:

\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
 
Zu zeigen: Sei die Folge $(a_n)$ definiert als $a_1:=1, a_2:=1$ und für  $n\geq3$ $a_n:=a_{n-1}+a_{n-2}$. Dann ist $\forall n\in\mathbb{N}: a_n=\dfrac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{n}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{n}}{\sqrt{5}}$.\newline
\textit{Induktionsanfang:}
$n=1\Rightarrow a_1=\dfrac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{1}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{1}}{\sqrt{5}}=\dfrac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\frac{1+\sqrt{5}-1+\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\frac{2\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1$.\newline Tatsächlich ist für $n=1$ lt. Definition $a_n=1$.

\end{document}

Ich gehe davon aus, dass als Folge dessen zwar die Strecke zwischen dem obersten Punkt einer Zeile und dem obersten Punkt der Zeile darunter zwar deutlich gewachsen ist, die reinen Zeilenabstände sind aber anscheinend genau so gewählt, dass Zeile an Zeile regelrecht aneinanderstößt. Das sollte natürlich nicht sein, zwischen zwei Zeilen in diesem mit Brüchen vollgepackten Abschnitt möchte ich natürlich genausoviel Abstand haben wie in einem Absatz mit Fließtext.
Wie kann ich das erreichen?

[Noch so einer]

Sei mir nicht böse, aber das ist grauenvoller Satz. Alternativvorschlag:

\documentclass[12pt]{scrartcl}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
 
\minisec{Zu zeigen:}% oder auch \paragraph*{Zu zeigen:}
Sei die Folge $(a_n)$ definiert als $a_1:=1, a_2:=1$ und für  $n\geq3$
$a_n:=a_{n-1}+a_{n-2}$. Dann ist:
\begin{align*}
  \forall n\in\mathbb{N}:
  a_n &=
  \frac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{n}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{n}}{\sqrt{5}}.\\
\intertext{Induktionsanfang:}
n=1\Rightarrow
a_1 &
=\frac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{1}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{1}}{\sqrt{5}}\\
   &
   =\frac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}}{\sqrt{5}}\\
   & =\frac{\frac{1+\sqrt{5}-1+\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}\\
   &=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\
   &=1.
\end{align*}
Tatsächlich ist für $n=1$ laut Definition $a_n=1$.
\end{document}

Vieles andere ist denkbar beispielsweise die Verwendung einer labeling-Umgebung. oder die Verwendung von split, multiine oder multilined (Paket mathtools) für den unteren Teil. Formeln mit geschachtelten Brüchen einfach in den Text zu streuen, ist hingegen keine Option.