LaTeX Forum

\documentclass[12pt,a4paper]{scrartcl} %evtl 'twoside' hinzufügen
%-------------------------------------%
% % Standard-Settings % %
\usepackage[T1]{fontenc} % Schriftart-Verwaltung
\usepackage[utf8]{inputenc} %Codierung (Umlaute usw.)
\usepackage{lmodern} % (Darstellung von PDF-Dateien mit AntiAliasing usw.)
\usepackage[ngerman]{babel} % (Sprachkompatibilität)
\usepackage[style=numeric,sorting=nyt,firstinits=true, bibencoding=ascii, backend=bibtex]{biblatex} %Bibliographie
\bibliography{literatur.bib}
%\bibliographystyle{philipp} %(Natbib-Style-Call)
\usepackage{csquotes} % BibLatex und Babel zusammen nutzen und kompatibilität sichern

\clubpenalty=10000   % letzte Zeile einer Seite nicht erste Zeile eines Absatzes
\widowpenalty=10000  % letzte Zeile eines Absatzes nicht erste Zeile einer Seite

%-------------------------------------%
% % MICROTYPING % %

\usepackage{ellipsis}
\usepackage{microtype} %Typografie optimieren, enthält viele Einstellungsmöglichkeiten

%------------------------------------ %
% % Mathe, Symbole usw. % %
\usepackage{amsmath} %  AMS-Pakete (Symbole, align-Umgebung)
\usepackage{amsfonts} %"
\usepackage{amssymb} %"
\usepackage{amsbsy} % Entweder \boldmath $...$ oder $\boldsymbol{...}$
\usepackage{trfsigns} %imaginäre Einheit, Transformationssymbole
\usepackage{upgreek} %nicht-kursive Griechische Symbole
\usepackage{textcomp}  % \textperthousand  (promille)
\usepackage{siunitx} % Einheitenformatierung
\sisetup{separate-uncertainty}


%------------------------------------ %
% % Formatierung und Design (Standard) % %
\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
\usepackage[left=2.5cm,right=2.5cm,top=2.5cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage{rotating} % Gedrehte Boxen (Abbildungen o.Ä.)

\usepackage{graphicx} %Abbildungen einbinden
\usepackage[labelfont=bf]{caption} % Captionsetup-Verwaltung
\captionsetup{margin=0.5cm}
\usepackage{subcaption} %package für gesplittete Grafiken
\usepackage{multirow} %package für multizeilen in tabellen
\usepackage{multicol} %Multiple columns in enumerations

\usepackage{pdfpages} %Einbinden externer PDF-Seiten
\pdfoptionpdfminorversion=6

%----------Float------------------ %
%\usepackage{float} %ersetzt durch floatrow
\let\tmp\newinsert % Workaround (nötig durch Bug in floatrow bzgl. Biblatex)
\let\newinsert\newbox
\usepackage{floatrow}
\let\newinsert\tmp % Workaround Ende
\floatsetup[table]{capposition=top}

%-------------Color+Links-------- %
\usepackage{xcolor} % Farbverwaltung
\usepackage[hidelinks]{hyperref}
\hypersetup{
	colorlinks,
	linkcolor={red!100!black},
	citecolor={green!80!black},
	urlcolor={blue!80!black},
	menucolor={red!100!black}
}

%-----------TOC---------- %
% %TOC-Style
%\usepackage{tocstyle}
%\usetocstyle{allwithdot}
\setcounter{tocdepth}{2} %Tiefe des TOC
%---------------------Code-------------------------- %
\usepackage[procnames]{listings} % Quellcode-Syntaxhighlighting.
\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}

%------------------Kopfzeilen/evtl. mit KOMA----------------- %
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy} %Kopfzeilengestaltung
\fancyhead[R]{\thepage}
\fancyhead[L]{\slshape \nouppercase{\leftmark}}

%\fancyhf{}  %Twoside
%\fancyhead[OR, EL]{\thepage}
%\fancyhead[ER, OL]{\slshape \nouppercase{\leftmark}}

%\usepackage{showframe} %Layout anzeigen
\fancyfoot{}
\setlength{\headheight}{15pt}
%\renewcommand{\sectionmark}[1]{
%	\markboth{\thesection{} #1}}
\renewcommand{\subsectionmark}[1]{
	\markright{\thesubsection{} #1}
}

%-----------------------------------------------------------------------------------------------$
\begin{document}
%---------------Python-Syntaxhighlighter ------------- %
\definecolor{keywords}{RGB}{0,51,255}
\definecolor{comments}{RGB}{0,0,113}
\definecolor{red}{RGB}{160,0,0}
\definecolor{green}{RGB}{0,150,0}
\lstset{frame=single,language=Python, breaklines=true, 
	basicstyle=\ttfamily\scriptsize, 
	keywordstyle=\color{keywords},
	commentstyle=\color{comments},
	stringstyle=\color{red},
	showstringspaces=false,
	identifierstyle=\color{green},
	procnamekeys={def,class},
	numbers=left}


%-----------------Titelseite-------------------- %


%----------------------TOC------------------- %



% % % % % % % % % %% % % AB HIER BEGINNT DAS EIGENTLICHE DOKUMENT % % % % % % % % % % % % %
\textbf{\underline{VL Mathe A}} \begin{flushright}
	12.01.18
\end{flushright}


\begin{align*}
4) & \int_{0}^{1} x \sqrt{3-x^2} dx 
\\
NR: \\
& u=3-x^2 ; \frac{du}{dx} = -2x \implies du=-2x\, dx \implies - \frac{1}{2} du=x \, dx\\
&x=1 \implies u=3-1^2 = 2\\
&x=0 \implies u=3 \\
&= \int_{3}^{2} \sqrt{4} \cdot (1 \frac{1}{2}) du \\
&= - \frac{1}{2} \int_{3}^{2} \sqrt{4} \; du\\
&- \frac{1}{2} \int_{3}^{2} u^{\frac{1}{2}} \\
&- \frac{1}{2} [ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{2} \\
&= - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) = - \frac{1}{2} (\frac{4}{3} \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) \\
&= - \frac{2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{3}}{3}
\end{align*}
Vorlesungsaufgabe:\\
1) $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin(x)+x} \cdot (\cos(x)+1)dx$\\
2) $ \int \cos^3 (2x-x^3) (x^2 - \frac{2}{3})dx$
\begin{align*}
1. &= \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} e^{ \sin (x)+x}du\\
	u=\sin (x)+x; \quad \frac{du}{dx} = \cos (x)+1\\
	du = ( \cos (x)+1)dx\\
	x = \frac{ \pi }{2} \implies u = 1+ \frac{ \pi }{2}\\
	x=0 \implies u = 0+0\\
	&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^u \; du\\
	&= [e^u]_{0}^{1+ \frac { \pi }{2}}\\
	&= e^{1+ \frac{ \pi }{2}} - e^0\\
	\\
2. &= \int \cos ^3 (u) (- \frac{1}{3})du\\
u = 2x-x^3 \\
\frac{du}{dx} = 2-x3x^2\\
du = (2-3x^2) dx \quad |: (-3)\\
- \frac{1}{3} du = (- \frac{2}{3}+x^2)dx\\
&= - \frac{1}{3} \int \cos ^3 (u)du\\
&= - \frac{1}{3} \int \cos ^2 (u) \cos (u)du\\
&= - \frac{1}{3} \int (1- \sin ^2 (u)) \cos (u)du\\
\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1 \implies 1- \sin ^2 \alpha = \cos ^2 \alpha\\
&= - \frac{1}{3} \int 1 \cdot \cos (u) - \sin ^2 (u) \cos (u)du\\
&= - \frac{1}{3} \int \cos (u) du + \frac{1}{3} \int \sin ^2 (u) \cos (u)dw\\
w= \sin (u) \\
\frac{dw}{du} = \cos (u)\\
dw = \cos (u)du\\
&= - \frac{1}{3} \sin (u) + \frac{1}{3} \int w^2 dw\\
&= - \frac{1}{3} \sin (u) + \frac{1}{9} w^3 +c\\
&= - \frac{1}{3} \sin (u) + \frac{1}{9} \sin ^3 (u) + c\\
&= - \frac{1}{3} \sin (2x-x^3) + \frac{1}{9} \sin ^3 (2x-x^3) +c
\end{align*}
\end{document}

1. &= \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} e^{ \sin (x)+x}du\\

\documentclass[]{scrartcl}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[locale=DE]{siunitx}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}
   \[
      F(x)=\int_{-\infty}^x (\frac{\xi-1}{\xi-2}) e^{\xi} d\xi
   \]   

   \[
      F(x)=\int\limits_{-\infty}^x \left(\frac{\xi-1}{\xi-2}\right) \cdot \mathrm{e}^{\xi} \cdot \mathrm{d}\xi
   \]
   
   \newcommand{\D}[1]{\mathrm d{#1}}
   \newcommand{\E}{\mathrm e}
   
   \[
      F(x)=\int\limits_{-\infty}^x \left(\frac{\xi-1}{\xi-2}\right) \cdot \E^{\xi} \cdot \D\xi
   \]   
\end{document}