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\author{Johannes Nachname, Murat Nachname, Kristof Nachname}
\title{B-Praktikumsversuch: \\ Elektronenspinresonanz}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle

\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{unisiegel.jpg}
\end{center}

\pagebreak

\tableofcontents
\pagebreak

\section{Vorbereitung}

\subsection{Motivation und Versuchsziel}

\section{Auswertung}

\subsection{Landé-Faktor}

Wie in der Vorbereitung hergeleitet gilt
	\[g=\frac{1}{\zeta} \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{3}{2}} \frac {hfr}{\mu_B \mu_0 n_W} \cdot \frac 1 {I_r}
\]

Dabei gilt für die in der Formel verwendet Größen:

\begin{table}[H]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|r|c|}
\hline
\textbf{Konstanten} & \textbf{Bedeutung} & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Wert}} & \textbf{Fehler} \\ \hline
$\zeta$ & Korrekturfaktor & 0,90072 & - \\ \hline
$r [m]$ & Spulenradius & 0,05400 & - \\ \hline
$n_W [\#]$ & Windungsanzahl & 250 & - \\ \hline
$\mu_0 [Tm/A]$ & Magnetische Feldkonstante & $1,256\cdot 10^{-6}$ & - \\ \hline
$\mu_B [Am^2]$ & Bohrsches Magneton & $9,2732\cdot 10^{-24}$ & - \\ \hline
$h [J/s]$ & Planksches Wirkungsquantum & $6,6256\cdot 10^{-34}$ & - \\ \hline
$f [Hz]$ & Frequenz & $146\cdot 10^6$ & \multicolumn{1}{r|}{$12\cdot 10^3$} \\ \hline
${I_r} [A]$ & Resonanzstormstärke & 1,255 & \multicolumn{1}{r|}{$6,45\cdot 10^{-4}$} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{}
\label{}
\end{table}

Dabei handelt es sich bei $I_r$ um den Mittelwert der Einzelmessungen:

\begin{align*}
I_{r_1} &= 1,256 A \pm 0,001 A \\
I_{r_2} &= 1,255 A \pm 0,001 A \\
I_{r_3} &= 1,254 A \pm 0,001 A \\
I_{r_4} &= 1,253 A \pm 0,001 A \\
\end{align*}
\begin{align*}
\Longrightarrow I_r &= \frac 1 4 \cdot \sum_{i=1}^4 I_{r_i} \\
\text{Mit dem Fehler: }\Delta I_r &= \sqrt{\frac 1 {12} \cdot \sum_{i=1}^4 (I_r - I_{r_i})^2} 
\end{align*}

Somit ergibt sich für den Landé-Faktor nach unserer Messung:
	\[g = 2,21879	\pm 0,00116
\]

\subsection{Bestimmung der Halbwertsbreite}

Zu Beginn dieser Messreihe haben wir jeweils den Resonanzstrom eingestellt und symmetrisch um die Y-Achse ausgerichtet so, dass eine umgedrehte Gaußkurve auf dem Oszilloskop zu sehen war. Hiernach haben wir Halbwertsbreite bestimmt, indem wir die Oszilloskopanzeige so eingestellt haben, dass die X-Achse das Signal bei seiner halben Höhe schneidet.
Anschließend haben wir durch Variation der Stromstärke das Signal entlang der X-Achse verschoben bis die Gaußkurve durch den Ursprung verlief. Die nun angezeigte Stromstärke $I_{verschoben}$ haben wir notiert und die Halbwertsbreite ergibt sich dann aus:

	\[FWHM = 2 \cdot |I_r - I_{verschoben}| 
\]
  
Und der Fehler ergibt sich mit dem statistischen Fehler von $\Delta I_{verschoben} = \pm 0,001$ nach Fehlerfortpflanzung zu:

	\[\Delta FWHM = \sqrt{(2 \Delta I_r)^2 + (2 \Delta I_{verschoben})^2}  
\]

Wir haben bei diesem Versuchsteil folgende Messwerte aufgenommen:

\begin{align*}
I_{verschoben_1} &= 1,273 A \pm 0,001 A \\
I_{verschoben_2} &= 1,276 A \pm 0,001 A \\
I_{verschoben_3} &= 1,273 A \pm 0,001 A \\
I_{verschoben_4} &= 1,272 A \pm 0,001 A \\
\end{align*}

Somit ergibt sich:

\begin{align*}
I_{verschoben} &= \frac 1 4 \cdot \sum_{i=1}^4 I_{verschoben_i} \\
\text{mit Fehler: } \Delta I_{verschoben} &= \sqrt{ \frac 1 {12} \cdot \sum_{i=1}^4 (I_{verschoben_i} - I_{verschoben})^2} \\
\\
\Longrightarrow I_{verschoben} &= 1,274 A \pm 0,001 A
\end{align*}

Somit ergibt sich für Halbwertsbreite.

\begin{align*}
FWHM = 0,038 A \pm 0,0024 A
\end{align*}

\noindent
Geben wir die Halbwertsbreite nun als magnetische Flussdichte $B_{FWHM}$ an, so erhalten wir dafür:

\begin{align*}
B_{FWHM} &= \zeta \cdot ( \frac 4 5)^{ \frac 3 2 } \mu_0 \frac {n_W} {r} I \\
\text{Mit Fehler: }\Delta B_{FWHM} &= B_{FWHM} \cdot \frac {\Delta I} I \\
\\
\Longrightarrow B_{FWHM} &= 1,42 \cdot 10^{-4} T \pm 0,03 \cdot 10^{-4} T
\end{align*}  

\subsection{Beeinflussung des Erdmagnetfelds auf die Messung}

Um den Einfluss des Erdmagnetfeldes auf unsere Messung zu bestimmen, haben wir den Resonanzstrom für vier verschiedene Ausrichtungen der Helmholtzspulen gemessen, wobei wir die Spulen ausgehend von der Ausgangsausrichtung bei $0^\circ$, in welcher sie sich auch während der vorherigen Versuchteile befanden, um jeweils $90^\circ$ cw\footnote{clockwise: Im Uhrzeigersinn} gedreht haben.
Auf diese Art war es uns möglich die Horizontalkomponente des Erdmagnetfelds bezüglich ihrer Stärke und Ausrichtung zu bestimmen. Die aufgenommenen Werte der vier für diesen Versuchsteil durchgeführten Messungen betrugen dabei:

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{|c|r|r|r|r|}
\hline
\textbf{Drehung (cw)} & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{$0^\circ$}} & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{$90^\circ$}} & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{$180^\circ$}} & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{$270^\circ$}} \\ \hline
\textbf{Messreihe 1 [A]} & 1,253 $\pm 0,001$ & 1,261 $\pm 0,001$ & 1,257 $\pm 0,001$ & 1,246 $\pm 0,001$\\ \hline
\textbf{Messreihe 2 [A]} & 1,253 $\pm 0,001$ & 1,260 $\pm 0,001$ & 1,255 $\pm 0,001$ & 1,250 $\pm 0,001$\\ \hline
\textbf{Messreihe 3 [A]} & 1,252 $\pm 0,001$ & 1,260 $\pm 0,001$ & 1,255 $\pm 0,001$ & 1,247 $\pm 0,001$\\ \hline
\textbf{Messreihe 4 [A]} & 1,253 $\pm 0,001$ & 1,259 $\pm 0,001$ & 1,256 $\pm 0,001$ & 1,249 $\pm 0,001$\\ \hline
\textbf{Mittelwert [A]} & 1,253 $\pm 0,001$ & 1,260 $\pm 0,001$ & 1,256 $\pm 0,001$ & 1,248 $\pm 0,001$ \\ \hline
\end{tabular}
\caption{}
\label{}
\end{table}

\noindent
Die Werte zeigen, dass wir bei bei $0^\circ$ und $180^\circ$ fast den gleichen Strom für die Resonanzmagnetflussdichte benötigt haben, während wir bei $90^\circ$ deutlich mehr und bei $270^\circ$ deutlich weniger Strom über die Helmholtzspulen laufen lassen mussten. \\ Betrachten wir nun die B-Feld-Richtung der Helmholtzspulen bei $0^\circ$ als x-Richtung und die B-Feld-Richtung des Helmholtzspulen bei $270^\circ$ als y-Richtung, so ergibt sich für die Horizontalkomponente des Erdmagnetfeldes $\vec{B}_{Erde} =\vec{B}_E = (B_x , B_y)^T$:

\begin{align*}
B_{x} &= \frac{1}{2} \cdot \zeta \cdot ( \frac 4 5)^{ \frac 3 2 } \mu_0 \frac {n_W} {r} (I_{0^\circ} - I_{180^\circ})\\
B_{y} &= \frac{1}{2} \cdot \zeta \cdot ( \frac 4 5)^{ \frac 3 2 } \mu_0 \frac {n_W} {r} (I_{90^\circ} - I_{270^\circ})\\
\Longrightarrow |B_E| &= \sqrt{B_x^2 + B_y^2}  
\end{align*}

\noindent
Folgende Abbildung verdeutlicht dabei die Lage der Versuchsapparatur und des Erdmagnetfelds

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{Erdmag.jpg}
\caption{Lage des Versuchsaufbaus und des Erdmagnetfeldes}
\end{figure}

\noindent
Der Faktor $\frac{1}{2}$ bei der x-Komponente resultiert daraus, dass der Stromunterschied von $I_{0^\circ} - I_{180^\circ}$ dem entspricht, dass die x-Komponente des Erdmagnetfeldes das Spulenfeld einmal verstärkt und einmal abschwächte und somit entspricht dieser Stromdifferenz dem zweifachen der x-Komponente vom Erdmagnetfeld. Analog gilt dies für die y-Komponente.
Für den Winkel $\varphi$ des Vektor bezüglich $0^\circ$ gilt nun die aus der linearen Algebra bekannte Winkeldefinition bezüglich der Vektoren $\vec{B}_E = (B_x,B_y)^T$ und $\vec{v} = (1,0)^T$:

\begin{equation*}
\measuredangle \left(\vec{B}_E , \vec{v} \right)=\arccos \left(\frac{\vert \langle \vec{B}_E , \vec{v} \rangle \vert}{\| \vec{B}_E \| \cdot \| \vec{v} \| \right)}
\end{equation*}
       
\end{document}

\begin{equation*}
\measuredangle \left(\vec{B}_E , \vec{v} \right)=\arccos \left(\frac{\vert \langle \vec{B}_E , \vec{v} \rangle \vert}{\| \vec{B}_E \| \cdot \| \vec{v} \| } \right)
\end{equation*}