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\author{Mario Peters}
\title{Die Exponentialfunktion}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\pagebreak
\section{Die Exponentialfunktion}
\paragraph{\begin{flushleft}
Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die im einfachsten Fall die Form f(x)=ax
 hat. Dabei ist die Basis a
 eine reelle positive Zahl ungleich 0
 oder 1
 und der Exponent x
 eine Variable. Wie die meisten Funktionen hat auch die Exponentialfunktion einen charakteristischen Graphen. Dieser lässt sich durch Parameter beeinflussen.
\end{flushleft}}

\subsection{Arten der Exponentialfunktionen}
\begin{flushleft}
Es gibt unterschiedliche Arten von Exponentialfunktionen. Drei wichtige werden dir hier vorgestellt:\\


Wachstumsfunktionen sind monoton steigende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas zunimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion f.\\

Zerfallsfunktionen sind monoton fallende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas abnimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion g.\\

Die natürliche Exponentialfunktion ist eine Funktion, die als Basis die eulersche Zahl $e$
hat. Sie beschreibt wachsende Vorgänge und zugleich ihre momentanen Änderungsraten.\\

Die Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion stellt in der Funktionsanalyse einen wichtigen Vorteil dar. Deshalb werden häufig mithilfe von Logarithmusfunktionen gewöhnliche Exponentialfunktionen in natürliche umgewandelt. Um dies durchführen zu können, musst du dich mit e-Funktionen und den Rechenregeln der Logarithmusfunktionen gut auskennen.
\end{flushleft}
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw[->,color=black] (-4.3,0) -- (5.14,0);\label{Koordinatensystem}
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-1.2) -- (0,6.3);
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-4.3,-3.58) rectangle (10.14,6.3);
\draw[blue,smooth,samples=100,domain=-4:5.0] plot(\x,{2^(\x)});
\draw[red,smooth,samples=100,domain=-4.2:5.0] plot(\x,{2^(-\x)});
\end{tikzpicture}

blau  $f(x) =2^x $\:und\: rot  $f(x) =2^{-x}$
\pagebreak
\subsection{Die Funktionsgleichungen und deren Parameter im Bezug auf den Graphen}
\begin{equation}
f(x)=e^x
\end{equation}
Diese natürliche Exponentialfunktion  kann noch durch 4 Parameter ($a$,$c$,$d$ und $y_{0}$) ergänzt werden.
 Diese beeinflussen auf ihre spezifische Art den Graphen der Funktion. 
\subparagraph{graphische Darstellung von $f(x)=e^x$}
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw[->,color=black] (-4.3,0) -- (5.14,0);\label{Koordinatensystem}
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-1.2) -- (0,6.3);
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-4.3,-3.58) rectangle (10.14,6.3);
\draw[blue,smooth,samples=100,domain=-4:5.0] plot(\x,{e^(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{center}
Typische Eigenschaften:\\

- schneidet die y-Achse an der Stelle ($0\mid 1$)\\

- streng monoton steigend\\

-Graph nähert sich der x-Achse annähernd, aber berührt sie nie (Asymtote: y=0)\\


\pagebreak

\section{Die natürliche Exponentialfunktion/e-Funktion}
\section{Ableitungsgraphen der Exponentialfunktion untersuchen}
\subsection{Aufgabe 1}
\subparagraph{(a)} Zeichnen Sie zu f mit $f(x)=a^x$ mit dem GTR oder GeoGebra die Graphen von $f, f\prime$ und $\frac{f\prime}{f}$ in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Variieren Sie die Basis und beschreiben Sie, was Ihnen auffällt.
\subparagraph{(b)} Es gibt eine Zahl e, für die der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=e^x$ exakt mit dem Graphen der Ableitungsfunktion übereinstimmt. Diese Zahl heißt Euler´sche Zahl ($e$). Bestimmen Sie mit dem GTR/GeoGebra durch Variation der Werte in a) einen Näherungswert für diese Zahl $e$.
\subsection{Bearbeitung der Aufgabe 1}
\begin{figure}
\begin{minipage}{.4\linewidth} %  => Ausrichtung an \caption
      \includegraphics[width=\linewidth]{Bild1}
      \caption{Bild 1} {$f(x)=a^x$,  $a=1,8$}
   \end{minipage}
   \hspace{.1\linewidth}% Abstand zwischen Bilder
   \begin{minipage}{.5\linewidth} %  => Ausrichtung an \caption
      \includegraphics[width=\linewidth]{Bild2}
      \caption{Bild 2} {$f(x)=a^x$,  $a=2,4$}
   \end{minipage}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{minipage}{.4\linewidth} %  => Ausrichtung an \caption
      \includegraphics[width=\linewidth]{Bild3}
      \caption{Bild 3} {$f(x)=a^x$,  $a=2,7$}
   \end{minipage}
   \hspace{.1\linewidth}% Abstand zwischen Bilder
   \begin{minipage}{.5\linewidth} %  => Ausrichtung an \caption
      \includegraphics[width=\linewidth]{Bild4}
      \caption{Bild 4} {$f(x)=a^x$,  $a=3,5$}
   \end{minipage}
\end{figure}

Der Graph von $f\prime$ verläuft unterhalb von dem Graphen von $f$ für alle $a<2,7$ . Für ca. $a=2,7$ stimmen die beiden Graphen (fast) überein und es gilt:  $\frac{f\prime}{f} \approx 1$. Für $a>2,7$ verläuft der Graph von $f'$ oberhalb von $f$. Durch die Variation von $a$ in noch kleineren Schrittweiten erhält man einen Näherungswert 2,718 für die Euler´sche Zahl $e$.
\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
\subparagraph{(a)}Bringen Sie die Kärtchen mit den folgenden Rechenschritten und Schlussfolgerungen in die richtige Reihenfolge. Erläutern Sie die jeweiligen Termumformungen oder Schlussfolgerungen.

\subsection{Bearbeitung der Aufgabe 2}
gegebene Funktion: $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=a^x$
\begin{equation}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\Leftrightarrow \frac{a^{x+h}-\:a^x}{h}
\Leftrightarrow \frac{a^x \cdot a^h -\:a^x}{h}
\Leftrightarrow \frac{a^x \cdot \: a^{h -1}}{h}
\Leftrightarrow a^x*\frac{a^{0+h}-\:a^0}{h}
\end{equation}

$\rightarrow$ Für  die  Ableitung  einer  Exponentialfunktion  vom  Typ  $f(x)=a^x$, $(a>0)$ gilt:\\
 $f\prime(x) = f\prime(0)*a^x$. Die  Ableitung  einer  Exponentialfunktion  $f\prime$  ist somit  proportional  zu  der  Funktion  $f$.

\end{document}

\documentclass[11pt,a4paper,twoside=false]{scrbook}
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\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}
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\DeclarePairedDelimiterXPP\pz[3]{#1}{(}{)}{}%
{\,#2\,\delimsize|\,#3\,}
\usepackage{bm}
\begin{document}
	\begin{titlepage}
		\phantom{a}\\\\
		\begin{center}
			\vspace{\fill}
			\Huge \textbf{Die Exponentialfunktion}
		\end{center}
		\phantom{abc}\\
		\begin{center}
			\LARGE \textbf{\phantom{a}}
		\end{center}
		\vspace{\fill}
		\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}llll}
			& \\\\\\\\\\\\
			\textbf{Autor:} & Mario Peters & \\
			\textbf{Datum:} & \today & \\
			& \\\\\\\\\\\\
			\textbf{\phantom{Dozent:}} & \multicolumn{3}{l}{\phantom{a}}\\
			\textbf{\phantom{Übungsleiter:}} & \multicolumn{3}{l}{\phantom{a}}\\\\
		\end{tabularx}
		
		\noindent\phantom{abxc}\\
		\vspace{\fill}\\
		\noindent \phantom{Dresden, 19.10.2018}
		\thispagestyle{empty}
		\quad
	\end{titlepage}
\frontmatter
\tableofcontents
\listoffigures
\newpage
\mainmatter
\chapter{Die Exponentialfunktion}
Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die im einfachsten Fall die Form $f(x)=ax$
hat. Dabei ist die Basis $a$
eine reelle positive Zahl ungleich $0$
oder $1$
und der Exponent $x$
eine Variable. Wie die meisten Funktionen hat auch die Exponentialfunktion einen charakteristischen Graphen. Dieser lässt sich durch Parameter beeinflussen.
\section{Arten der Exponentialfunktion}
Es gibt unterschiedliche Arten von Exponentialfunktionen. Drei wichtige werden dir hier vorgestellt:

Wachstumsfunktionen sind monoton steigende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas zunimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion $f$.

Zerfallsfunktionen sind monoton fallende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas abnimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion $g$.

Die natürliche Exponentialfunktion ist eine Funktion, die als Basis die eulersche Zahl $\mathrm{e}$
hat. Sie beschreibt wachsende Vorgänge und zugleich ihre momentanen Änderungsraten.

Die Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion stellt in der Funktionsanalyse einen wichtigen Vorteil dar. Deshalb werden häufig mithilfe von Logarithmusfunktionen gewöhnliche Exponentialfunktionen in natürliche umgewandelt. Um dies durchführen zu können, musst du dich mit $\mathrm{e}$-Funktionen und den Rechenregeln der Logarithmusfunktionen gut auskennen.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[xmin=-5.5,xmax=5.5,ymin=-.5,ymax=6.5,x=1cm,y=1cm,domain=-5.5:5.5,restrict y to domain=-.5:6.5,samples=500,ytick={1,...,6},xtick={-5,...,5},axis lines=middle]
		\addplot[mark=none,color=blue] {2^x} node[right,pos=.9]{$f(x)$};
		\addplot[mark=none,color=red] {2^(-x)} node[left,pos=.1]{$g(x)$};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}
\captionof{figure}{Arten der Exponentialfunktion}
\end{center}
\newpage
\section{Die Funktionsgleichungen und deren Parameter im Bezug auf den Graphen}
\begin{align*}
	f(x)=\mathrm{e}^x
\end{align*}
Diese natürliche Exponentialfunktion kann noch durch 4 Parameter ($a$, $c$, $d$ und $y_{o}$) ergänzt werden.
Diese beeinflussen auf ihre spezifische Art den Graphen der Funktion.
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\begin{axis}[xmin=-5.5,xmax=5.5,ymin=-.5,ymax=6.5,x=1cm,y=1cm,domain=-5.5:5.5,restrict y to domain=-.5:6.5,samples=500,ytick={1,...,6},xtick={-5,...,5},axis lines=middle]
			\addplot[mark=none,color=blue] {exp(x)} node[right,pos=.9]{$f(x)$};
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}
\captionof{figure}{Darstellung der natürlichen Exponentialfunktion $f(x)=\mathrm{e}^x$}
\end{center}
Die typische Exponentialfunktion
\begin{itemize}[label=$\cdot$]
	\item schneidet die $y$-Achse im Punkt $\pz*{S_y}{0}{1}$,
	\item ist streng monoton steigend und
	\item der Graph nähert sich der $x$-Achse an, aber berührt diese nicht (Asymptote: $y=0$).
\end{itemize}


\chapter{Die natürliche Exponentialfunktion\,/\,$\bm{\mathrm{e}}$-Funktion}
\chapter{Ableitungsgraphen der Exponentialfunktion untersuchen}
\section{Aufgabe 1}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item Zeichnen Sie zu $f$mit $f(x)=a^x$ mit dem GTR oder GeoGebra die Graphen von $f(x)$, $f'(x)$ und $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Variieren Sie die Basis und beschreiben Sie, was Ihnen auffällt.
	\item Es gibt eine Zahl $\mathrm{e}$, für die der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^x$ exakt mit dem Graphen der Ableitungsfunktion übereinstimmt. Diese Zahl heißt \textbf{\textit{Euler'sche Zahl}}. Bestimmen Sie mit dem GTR\,/\,GeoGebra durch Variationder Werte in (a) einen Näherungswert für diese Zahl.
\end{enumerate}
\section{Bearbeitung der Aufgabe 1}
\begin{minipage}[t]{.4\linewidth}
	\resizebox{\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[xmin=-2.5,xmax=2.5,ymin=-.5,ymax=3,x=1cm,y=1cm,domain=-2.5:2.5,restrict y to domain=-.5:3,samples=500,ytick={1,...,2},xtick={-2,...,2},axis lines=middle,font={\footnotesize}]
				\addplot[mark=none,color=blue] {1.8^x} node[left,pos=.9]{$f(x)$};
				\addplot[mark=none,color=gray] {1.8^x*ln(1.} node[right,pos=.7]{$f'(x)$};
				\addplot[mark=none,color=red] {1.8^x*ln(1./(1.8^x)} node[above,pos=.1]{$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$};
			\end{axis}
	\end{tikzpicture}}
	\captionof{figure}{$f(x)=a^x$, $a=1,8$}
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}[t]{.4\linewidth}
	\resizebox{\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[xmin=-2.5,xmax=2.5,ymin=-.5,ymax=3,x=1cm,y=1cm,domain=-2.5:2.5,restrict y to domain=-.5:3,samples=500,ytick={1,...,2},xtick={-2,...,2},axis lines=middle,font={\footnotesize}]
				\addplot[mark=none,color=blue] {2.4^x} node[left,pos=.9]{$f(x)$};
				\addplot[mark=none,color=gray] {2.4^x*ln(2.4)} node[right,pos=.9]{$f'(x)$};
				\addplot[mark=none,color=red] {2.4^x*ln(2.4)/(2.4^x)} node[above,pos=.1]{$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$};
			\end{axis}
	\end{tikzpicture}}
	\captionof{figure}{$f(x)=a^x$, $a=2,4$}
\end{minipage}\\
\begin{minipage}[t]{.4\linewidth}
	\resizebox{\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[xmin=-2.5,xmax=2.5,ymin=-.5,ymax=3,x=1cm,y=1cm,domain=-2.5:2.5,restrict y to domain=-.5:3,samples=500,ytick={1,...,2},xtick={-2,...,2},axis lines=middle,font={\footnotesize}]
				\addplot[mark=none,color=blue] {2.7^x} node[left,pos=.9]{$f(x)$};
				\addplot[mark=none,color=gray] {2.7^x*ln(2.7)} node[right,pos=.9]{$f'(x)$};
				\addplot[mark=none,color=red] {2.7^x*ln(2.7)/(2.7^x)} node[above,pos=.1]{$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$};
			\end{axis}
	\end{tikzpicture}}
	\captionof{figure}{$f(x)=a^x$, $a=2,7$}
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}[t]{.4\linewidth}
	\resizebox{\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[xmin=-2.5,xmax=2.5,ymin=-.5,ymax=3,x=1cm,y=1cm,domain=-2.5:2.5,restrict y to domain=-.5:3,samples=500,ytick={1,...,2},xtick={-2,...,2},axis lines=middle,font={\footnotesize}]
				\addplot[mark=none,color=blue] {3.5^x} node[right,pos=.9]{$f(x)$};
				\addplot[mark=none,color=gray] {3.5^x*ln(3.5)} node[left,pos=.9]{$f'(x)$};
				\addplot[mark=none,color=red] {3.5^x*ln(3.5)/(3.5^x)} node[above,pos=.1]{$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$};
			\end{axis}
	\end{tikzpicture}}
	\captionof{figure}{$f(x)=a^x$, $a=3,5$}
\end{minipage}
\vspace{\fill}
Der Graph von $f'$ verläuft unterhalb von dem Graphen von $f$ für alle $a<2,7$ . Für ca. $a=2,7$ stimmen die beiden Graphen (fast) überein und es gilt:  $\frac{f'}{f} \approx 1$. Für $a>2,7$ verläuft der Graph von $f'$ oberhalb von $f$. Durch die Variation von $a$ in noch kleineren Schrittweiten erhält man einen Näherungswert $2,718$ für die Euler´sche Zahl $\mathrm{e}$.
\newpage
\section{Aufgabe 2}
Bringen Sie die Kärtchen mit den folgenden Rechenschritten und Schlussfolgerungen in die richtige Reihenfolge. Erläutern Sie die jeweiligen Termumformungen oder Schlussfolgerungen. 
\section{Bearbeitung der Aufgabe 2}
gegebene Funktion: $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=a^x$
\begin{align*}
	\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\Longleftrightarrow\dfrac{a^{x+h}-a^x}{h}\Longleftrightarrow\dfrac{a^x\cdot a^h-a^x}{h}\Longleftrightarrow\dfrac{a^x\cdot a^{h-1}}{h}\Longleftrightarrow a^x\cdot\dfrac{a^{0+h}-a^0}{h}
\end{align*}
Für die Ableitung einer Exponentialfunktion vom Typ $f(x)=a^x$, $(a>0)$ gilt:\begin{align*}
	f'(x)=f'(0)\cdot a^x.
\end{align*}
Die Ableitung einer Exponentialfunktion $f'$ ist damit proportional zu der Funktion $f$.
\end{document}