dein Code hat ziemlich viele Fehler und veraltete Pakete.
align mag keine Leerzeilen, \end{itemize} vergessen und die Abbildungen sind durch die eingegeben Werte doch recht statisch. Manche Berechnung würde ich doch pstricks überlassen.
\documentclass{report}
%\usepackage{ngerman}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{pstricks,pst-math,pstricks-add}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
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\title{Kreis, Ellipse und Hypberbel}
\author{AUTOR}
\date{09.Oktober.2010}
%\usepackage{showframe}
\begin{document}
\tableofcontents
\chapter{Der Kreis}
\section{Die Kresigleichung}
%
\emph{Def. des Kreises:} Die Menge aller Punkte X einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt M den Abstand r haben, ist die Kreislinie k mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r:
%
$h[M,r] = \{ X \| \overline{XM} = r \}$
\noindent\begin{minipage}[c]{\textwidth-6cm}
\begin{align}
\left | \overrightarrow{MX} \right | = &r \\ \\
\left | X-M \right | = &r \\ \\
\left | \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_M \\ y_M \end{pmatrix} \right | = &r \\ \\ \\
\sqrt{(x-x_M)^2 + (y-y_M)^2} = &r \\ \\
(x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 = &r^2
\end{align}
\end{minipage}%
\hfill\begin{minipage}[c]{6cm}
\centering
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,runit=\psxunit,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-3.5)(3,3.5)
\pscircle(0,0){3}
\rput[tl](2.02,2.64){X}
\psline(0,0)(1.93,2.29)
\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.3,-0.32){\darkgray{$M$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](1.93,2.29)
\rput[bl](1.14,0.98){$r$}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
%
\section{Alternative Formen der Kreisgleichung}
\begin{align}
\left [ X - \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right ] ^2 = r^2 \\
\\
ax^2 + ay^2 +bx +cy + d = r^2
\end{align}
\section{Kreischnitte}
\subsection{Kreis - Geraden}
%
\noindent\begin{minipage}[c]{0.5\textwidth}
\begin{align}
g_1 \cap k &= \{S_1,S_2\} \\
g_1 \rightarrow Sekante \\ \\
g_2 \cap k &= \{ S_3 \} \\
g_2 \rightarrow Tangente \\ \\
g_3 \cap k &= \{ \} \\
g_3 \rightarrow Passante
\end{align}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[c]{0.5\textwidth}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.5,-3.19)(3.5,3.41)
\pscircle(0,0){2}
\psplot{-2.5}{3.5}{(-3.98-2.88*x)/-0.66}
\psplot{-2.5}{3.5}{(--16.35-3.32*x)/5.17}
\psline(0,0)(1.88,-0.68)
\rput[tl](-1.86,-2.38) {$g_1$}
\rput[lt](1.48,-2.29){\parbox{1.11 cm}{$g_2$}}
\rput[tl](3.04,0.9){$g_3$}
\psplot{-2.5}{3.5}{(--4-1.88*x)/-0.68}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{1.223734723255406}{2.7945310500503027}{0.66*cos(t)+1.88|0.66*sin(t)+-0.68}\lineto(1.88,-0.68) \closepath}
\psellipse*[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.72,-0.33)(0.04,0.04)
\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](0.09,0.13){\darkgray{$M$}}
\psdots[linecolor=darkgray](1.88,-0.68)
\rput[bl](2.01,-0.97){\xdxdff{$S_3$}}
\psdots[linecolor=darkgray](-0.98,1.74)
\rput[bl](-1.4,1.87){\xdxdff{$S_1$}}
\psdots[linecolor=darkgray](-1.64,-1.14)
\rput[bl](-2.24,-1.37){\xdxdff{$S_2$}}
\rput[bl](0.82,-0.66){$r$}
\psdots[linecolor=darkgray](4.65,6.96)
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\subsection{Methoden der Lagenbestimmung}
Die Lage einer Geraden $g$ zu einem Kreis $k$ kann auf zwei Arten bestimmt werden:
\begin{itemize}
\item Abstandsbestimmung:
Gegeben ist ein Kreis $k$ mit Mittelpunkt $M$ und Radius $r$ und eine Gerade $g$. Zuerst wird ein Punkt $P$ auf der Geraden gesucht. Diser ist, falls die Gerade in Vektorschreibweise gegeben ist, schon aus der Angabe heraus zu lesen, ansonst wird entweder der Punkt $\begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$ oder ein ersichtlicher, passender Punkt berechnet. Projeziert man nun den Vektor $\overrightarrow{PM}$ auf den normierten\footnote{Als normierter Vektor wird ein Vektor mit Länge 1 bezeichnet} Normalvektor der Geraden $g$ so ergibt dies den Abstand $d$ der Geraden $g$ zum Mittelpunkt $M$ des Kreises $k$. Es ergeben sich folgende Möglichkeiten:
\begin{itemize}
\item $d < r \Rightarrow g$: Sekante
\item $d = r \Rightarrow g$: Tangente
\item $d > r \Rightarrow g$: Passante
\end{itemize}
\item Einsetzverfahren:
Drückt man sich aus der Gleichung der Geraden $g$ oder des Kreises $k$\footnote{Praktischerweise wird die Unbekannte aus der Geraden $g$ ausgedrückt, da hier nicht mit Quadraten gerechnet werden muss} eine Variable aus und setzt diese in die jeweils andere Geleichung ein. Als Ergebnis erhält man eine quadratische Gleichung deren Lösungsmöglichkeiten die Lagebeziehung beschreiben:
\begin{itemize}
\item $\exists x_1$,$x_2\in \mathbb{R} \Rightarrow g$: Sekante
\item $\exists x_1=x_2 \in \mathbb{R} \Rightarrow g$: Tangente
\item $\nexists x_1,x_2 \in \mathbb{R} \Rightarrow g$: Passante
\end{itemize}
\end{itemize}
Diese Methode hat den Vorteil, dass hier auch gleich die $x-$ bzw. $y-$ Koordinate(n) der Schnittpunkte berechnet werden.
\end{document} Gruß
Marco
