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   } 

\begin{document}
\chapter{Differentialrechnung}
\section{Aufgaben}
\subsection*{Aufgabe 1}
Betrachten Sie die Funktion 
\begin{center}
$f(x)=x^n$\\[3mm]
$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
\end{center}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion mit Hilfe des Differentialquotienten (Grenzbetrachtung)
\subsection*{Aufgabe 2}
Betrachten Sie die Funktion 
\begin{center}
$f(x)=\sqrt{x}$\\[3mm]
$f:\mathbb{R}_{\geq0}\to \mathbb{R}$
\end{center}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion mit Hilfe des Differentialquotienten (Grenzbetrachtung)
\subsection*{Aufgabe 3}
Betrachten Sie die Funktion 
\begin{center}
$f(x)=x^2+4x-12$\\[3mm]
$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
\end{center}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion mit Hilfe des Differentialquotienten (Grenzbetrachtung)
\subsection*{Aufgabe 4}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen ohne Verwendung der Produkt-, Quotienten- bzw. Kettenregel
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=x+3$
\item[(b)] $f(x)=x^2-5x+2$
\item[(c)] $f(x)=4x^3-x^2-6x-7$
\item[(d)] $f(x)=2x^{13}+x^9-5x^5+3x^2-8$
\item[(e)] $f(x)=(x+3)^2$
\item[(f)] $f(x)=(2x-5)^2$
\item[(g)] $f(x)=(x-3)^4$
\item[(h)] $f(x)=(3x^2-5x)\cdot(3x^2+5x)$
\item[(i)] $f(x)=(x^2-5)\cdot(x+7)$
\item[(j)] $f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x^2+3x-1\vphantom{\big[\big]}}$
\end{itemize}
\subsection*{Aufgabe 5}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen ohne Verwendung der Produkt- bzw. Quotientenregel
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=ax^2-4x-6$
\item[(b)] $f(x)=\frac{1}{x}$
\item[(c)] $f(x)=\frac{3}{x^2}$
\item[(d)] $f(x)=-\frac{6}{x^4}$
\item[(e)] $f(x)=\sqrt{x}$
\item[(f)] $f(x)=\sqrt{3x+6}$
\item[(g)] $f(x)=\sqrt{2x^2-5x+1}$
\item[(h)] $f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}$
\item[(i)] $f(x)=\sqrt[3]{4x+1}$
\end{itemize}
\subsection*{Aufgabe 6}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen mit Hilfe der Kettenregel
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=(x+3)^2$
\item[(b)] $f(x)=(3x-2)^3$
\item[(c)] $f(x)=(3x^3+x^2-6x+3)^4$
\item[(d)] $f(x)=\sqrt{x^2-x+3}$
\item[(e)] $f(x)=\sqrt{5x^3-6x}$
\item[(f)] $f(x)=\ln(x+5)$
\item[(g)] $f(x)=\ln(x^2+5x-1)$
\item[(h)] $f(x)=\ln(x^3-2x^2-3)$
\item[(i)] $f(x)=\ln((x+3)^2)$
\item[(j)] $f(x)=e^{3x}$
\item[(k)] $f(x)=e^{-3x^2-2}$
\item[(l)] $f(x)=e^{4x^3+x^2-x}$
\end{itemize}
\subsection*{Aufgabe 7}
Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen mit Hilfe der Produktregel
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=(4x-2)\cdot e^x$
\item[(b)] $f(x)=(4x-2)\cdot \frac{1}{x}$
\item[(c)] $f(x)=(4x-2)\cdot \sqrt{x}$
\item[(d)] $f(x)=x^2\cdot e^x$
\item[(e)] $f(x)=(3x^2-5)\cdot \sqrt{x}$
\item[(f)] $f(x)=(3x-1)\cdot e^x$
\item[(g)] $f(x)=5x^2\cdot e^x$
\item[(h)] $f(x)=(2x^3-x)\cdot e^x$
\item[(i)] $f(x)=(3x-3)^3\cdot e^{2x}$
\item[(j)] $f(x)=(5x-x^2)\cdot e^x+2x$
\end{itemize}
\subsection*{Aufgabe 8}
Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen mit Hilfe der Quotientenregel
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=\frac{e^x}{x^2}$
\item[(b)] $f(x)=\frac{3x}{x-2}$
\item[(c)] $f(x)=\frac{3x-8}{x-2}$
\item[(d)] $f(x)=\frac{2x}{x+3}$
\item[(e)] $f(x)=\frac{\frac{1}{2}x^2}{2x-5}$
\item[(f)] $f(x)=\frac{2x}{e^x-1}$
\item[(g)] $f(x)=\frac{6-4x}{4x+3}$
\item[(h)] $f(x)=\frac{e^{2x}}{(\frac{1}{2}x-1)^2}$
\item[(i)] $f(x)=\frac{x^2+1}{(x+1)^2}$
\item[(j)] $f(x)=\frac{(x-1)^3}{e^x}$
\end{itemize}
\newpage
\noindent
\section{Lösungen}
\subsection*{Aufgabe 1}
\noindent
$\begin{aligned}
\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} &= \dfrac{(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}\\[3mm]
                                     &= \dfrac{\sum\limits_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}\cdot x^{n-k}\cdot \Delta x^{k}-x^n}{\Delta x}\\[3mm]   				                        
																		 &= \sum\limits_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}\cdot x^{n-k}\cdot \Delta x^{k-1}-x^n\cdot\Delta x^{-1}\\[3mm]
																		 &= \sum\limits_{k=1}^{n} \dbinom{n}{k}\cdot x^{n-k}\cdot \Delta x^{k-1}\\[3mm]
																		 &= n\cdot x^{n-1}+\dbinom{n}{2}\cdot x^{n-2}\cdot \Delta x+\ldots+\dbinom{n}{n-1}\cdot x\cdot \Delta x^{n-2}+\Delta x^{n-1}
\end{aligned}$\\[3mm]
Durchführung des Grenzübergangs $\Delta x\to 0$ liefert\\[3mm]
$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \ \Bigg(n\cdot x^{n-1}+\underbrace{\dbinom{n}{2}\cdot x^{n-2}\cdot \Delta x+\ldots+\dbinom{n}{n-1}\cdot x\cdot \Delta x^{n-2}+\Delta x^{n-1}}_{\to 0}\Bigg)=n\cdot x^{n-1}$
\subsection*{Aufgabe 2}
$\begin{aligned}
\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} &= \dfrac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}\\[3mm]
                                     &= \dfrac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}\cdot\frac{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}\\[3mm]   				                          &= \dfrac{\Delta x}{\Delta x\cdot(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}\\[3mm]
																		 &= \dfrac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}\\[3mm]
\end{aligned}$\\[3mm]
Durchführung des Grenzübergangs $\Delta x\to 0$ liefert\\[3mm]
$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \ \dfrac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{x}}$
\subsection*{Aufgabe 3}
$\begin{aligned}
\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} &= \dfrac{(x+\Delta x)^2+4\cdot(x+\Delta x)-12-(x^2+4x-12)}{\Delta x}\\[3mm]
                                     &= \dfrac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2+4x+4\cdot\Delta x-12-x^2-4x+12}{\Delta x}\\[3mm]   				                          
																		 &= \dfrac{2x\Delta x+\Delta x^2+4\cdot\Delta x}{\Delta x}\\[3mm]
																		 &= 2x+\Delta x+4\\[3mm]
\end{aligned}$\\[3mm]
Durchführung des Grenzübergangs $\Delta x\to 0$ liefert\\[3mm]
$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \ \Big(2x+\Delta x+4\Big)=2x+4$
\subsection*{Aufgabe 4}
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=x+3$\\[3mm]
           $f'(x)=1$
\item[(b)] $f(x)=x^2-5x+2$\\[3mm]
           $f'(x)=2x-5$
\item[(c)] $f(x)=4x^3-x^2-6x-7$\\[3mm]
           $f'(x)=12x^2-2x-6$
\item[(d)] $f(x)=2x^{13}+x^9-5x^5+3x^2-8$\\[3mm]
           $f'(x)=26x^{12}+9x^8-25x^4+6x$
\item[(e)] $f(x)=(x+3)^2=x^2+6x+9$\\[3mm]
           $f'(x)=2x+6$
\item[(f)] $f(x)=(2x-5)^2=4x^2-20x+25$\\[3mm]
           $f'(x)=8x-20$
\item[(g)] $f(x)=(x-3)^4=x^4-12x^3+54x^2-108x+81$\\[3mm]
           $f'(x)=4x^3-36x^2+108x-108$
\item[(h)] $f(x)=(3x^2-5x)\cdot(3x^2+5x)=9x^4-25x^2$\\[3mm]
           $f'(x)=36x^3-50x$
\item[(i)] $f(x)=(x^2-5)\cdot(x+7)=x^3+7x^2-5x-35$\\[3mm]
           $f'(x)=3x^2+14x-5$
\item[(j)] $f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x^2+3x-1\vphantom{\big[\big]}}=\sqrt[3]{(x-1)^3\vphantom{\big[\big]}}=x-1$\\[3mm]
           $f'(x)=1$
\end{itemize}
\subsection*{Aufgabe 5}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen ohne Verwendung der Produkt- bzw. Quotientenregel
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=ax^2-4x-6$\\[3mm]
           $f'(x)=2ax-4$
\item[(b)] $f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$\\[3mm]
           $f'(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$
\item[(c)] $f(x)=\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$\\[3mm]
           $f'(x)=-6x^{-3}=-\frac{6}{x^3}$
\item[(d)] $f(x)=-\frac{6}{x^4}=-6x^{-4}$\\[3mm]
           $f'(x)=24x^{-5}=\frac{24}{x^5}$
\item[(e)] $f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$\\[3mm]
           $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
\item[(f)] $f(x)=\sqrt{3x+6}=(3x+6)^{\frac{1}{2}}$\\[3mm]
           $f'(x)=\frac{3}{2}(3x+6)^{-\frac{1}{2}}=\frac{3}{2\sqrt{3x+6}}$
\item[(g)] $f(x)=\sqrt{2x^2-5x+1}=(2x^2-5x+1)^{\frac{1}{2}}$\\[3mm]
           $f'(x)=\frac{1}{2}(4x-5)(2x^2-5x+1)^{-\frac{1}{2}}=\frac{4x-5}{2\sqrt{2x^2-5x+1}}$
\item[(h)] $f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}=\frac{-2}{x^2-1}=-2(x^2-1)^{-1}$\\[3mm]
           $f'(x)=4x(x^2-1)^{-2}=\frac{4x}{(x^2-1)^2}$
\item[(i)] $f(x)=\sqrt[3]{4x+1}=(4x+1)^{\frac{1}{3}}$\\[3mm]
           $f'(x)=\frac{4}{3}(4x+1)^{-\frac{2}{3}}=\frac{4}{3\sqrt[3]{(4x+1)^2}}$
\end{itemize}
\subsection*{Aufgabe 6}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen mit Hilfe der Kettenregel
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=(x+3)^2$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=x+3$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=u^2$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{2\cdot(x+3)}1}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{2\cdot(x+3)}_{\text{äußere Ableitung}}=2\cdot(x+3)$
\item[(b)] $f(x)=(3x-2)^3$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=3x-2$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=u^3$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{3\cdot(3x-2)^2}3}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{3\cdot(3x-2)^2}_{\text{äußere Ableitung}}=9\cdot(3x-2)^2$
\item[(c)] $f(x)=(3x^3+x^2-6x+3)^4$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=3x^3+x^2-6x+3$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=u^4$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{4\cdot(3x^3+x^2-6x+3)^3}(9x^2+2x-6)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{4\cdot(3x^3+x^2-6x+3)^3}_{\text{äußere Ableitung}}=(36x^2+8x-24)\cdot(3x^3+x^2-6x+3)^3$
\item[(d)] $f(x)=\sqrt{x^2-x+3}$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=x^2-x+3$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=\sqrt{u}$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{\frac{1}{2\sqrt{x^2-x+3}}}(2x-1)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{x^2-x+3}}}_{\text{äußere Ableitung}}=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+3}}$
\item[(e)] $f(x)=\sqrt{5x^3-6x}$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=5x^3-6x$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=\sqrt{u}$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{\frac{1}{2\sqrt{5x^3-6x}}}(15x^2-6)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{5x^3-6x}}}_{\text{äußere Ableitung}}=\dfrac{15x^2-6}{2\sqrt{5x^3-6x}}$
\item[(f)] $f(x)=\ln(x+5)$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=x+5$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=\ln(u)$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{\frac{1}{x+5}}1}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\frac{1}{x+5}}_{\text{äußere Ableitung}}=\dfrac{1}{x+5}$
\item[(g)] $f(x)=\ln(x^2+5x-1)$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=x^2+5x-1$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=\ln(u)$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{\frac{1}{x^2+5x-1}}(2x+5)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\frac{1}{x^2+5x-1}}_{\text{äußere Ableitung}}=\dfrac{2x+5}{x^2+5x-1}$
\item[(h)] $f(x)=\ln(x^3-2x^2-3)$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=x^3-2x^2-3$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=\ln(u)$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{\frac{1}{x^3-2x^2-3}}(3x^2-4x)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\frac{1}{x^3-2x^2-3}}_{\text{äußere Ableitung}}=\dfrac{3x^2-4x}{x^3-2x^2-3}$
\item[(i)] $f(x)=\ln((x+3)^2)$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=(x+3)^2$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=\ln(u)$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{\frac{1}{(x+3)^2}}(2x+6)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\frac{1}{(x+3)^2}}_{\text{äußere Ableitung}}=\dfrac{2x+6}{(x+3)^2}$
\item[(j)] $f(x)=e^{3x}$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=3x$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=e^u$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{e^{3x}}3}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{e^{3x}}_{\text{äußere Ableitung}}=3e^{3x}$
\item[(k)] $f(x)=e^{-3x^2-2}$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=-3x^2-2$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=e^u$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{-6x}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\vphantom{-6x}e^{-3x^2-2}}_{\text{äußere Ableitung}}=-6x\cdot e^{-3x^2-2}$
\item[(l)] $f(x)=e^{4x^3+x^2-x}$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=4x^3+x^2-x$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=e^u$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{(12x^2+2x-1)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\vphantom{(12x^2+2x-1)}e^{4x^3+x^2-x}}_{\text{äußere Ableitung}}=(12x^2+2x-1)\cdot e^{4x^3+x^2-x}$
\end{itemize}\subsection*{Aufgabe 7}
\underline{Formel (Produktregel)}\\[3mm]
$f(x)=u\cdot v\\[3mm]
f'(x)=u'\cdot v+u\cdot v'$
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=(4x-2)\cdot e^x$\vspace*{-2mm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $4x-2$ & $4$ & $e^x$ & $e^x$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=4\cdot e^x+(4x-2)\cdot e^x=e^x\cdot (4x+2)$
\item[(b)] $f(x)=(4x-2)\cdot \frac{1}{x}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $4x-2$ & $4$ & $\frac{1}{x}$ & $-\frac{1}{x^2}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=4\cdot \frac{1}{x}+(4x-2)\cdot (-\frac{1}{x^2})=\frac{4}{x}-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}=\frac{2}{x^2}$
\item[(c)] $f(x)=(4x-2)\cdot \sqrt{x}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $4x-2$ & $4$ & $\sqrt{x}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=4\cdot \sqrt{x}+(4x-2)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=4\cdot\sqrt{x}+2\cdot\sqrt{x}-\frac{\sqrt{x}}{x}=\sqrt{x}\cdot(6-\frac{1}{x})$
\item[(d)] $f(x)=x^2\cdot e^x$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $x^2$ & $2x$ & $e^x$ & $e^x$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=e^x\cdot(2x+x^2)$
\item[(e)] $f(x)=(3x^2-5)\cdot \sqrt{x}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $3x^2-5$ & $6x$ & $\sqrt{x}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=6x\cdot \sqrt{x}+(3x^2-5)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}\cdot(\frac{15}{2}x-\frac{5}{2x})$
\item[(f)] $f(x)=(3x-1)\cdot e^x$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $3x-1$ & $3$ & $e^x$ & $e^x$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=3\cdot e^x+(3x-1)\cdot e^x=e^x\cdot (3x+2)$
\item[(g)] $f(x)=5x^2\cdot e^x$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $5x^2$ & $10x$ & $e^x$ & $e^x$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=10x\cdot e^x+(5x^2)\cdot e^x=e^x\cdot (10x+5x^2)$
\item[(h)] $f(x)=(2x^3-x)\cdot e^x$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $2x^3-x$ & $6x^2-1$ & $e^x$ & $e^x$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=(6x^2-1)\cdot e^x+(2x^3-x)\cdot e^x=e^x\cdot (2x^3+6x^2-x-1)$
\item[(i)] $f(x)=(3x-3)^3\cdot e^{2x}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $(3x-3)^3$ & $9\cdot(3x-3)^2$ & $e^{2x}$ & $2e^{2x}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=9\cdot(3x-3)^2\cdot e^{2x}+(3x-3)^3\cdot 2e^{2x}=e^{2x}\cdot(3x-3)^2\cdot (6x+3)$
\item[(j)] $f(x)=(5x-x^2)\cdot e^x+2x$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $5x-x^2$ & $5-2x$ & $e^{x}$ & $e^{x}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=(5-2x)\cdot e^x+(5x-x^2)\cdot e^x+2=e^x\cdot(-x^2+3x+5)+2$
\end{itemize}
\subsection*{Aufgabe 8}
 \underline{Formel (Quotientenregel)}\\[3mm]
$f(x)=\dfrac{u}{v}\\[3mm]
f'(x)=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=\frac{e^x}{x^2}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $e^x$ & $e^x$ & $x^2$ & $2x$ & $x^4$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{e^x\cdot x^2-e^x\cdot 2x}{x^4}=\dfrac{e^x\cdot x-e^x\cdot 2}{x^3}=\dfrac{e^x\cdot(x-2)}{x^3}$
\item[(b)] $f(x)=\frac{3x}{x-2}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $3x$ & $3$ & $x-2$ & $1$ & $(x-2)^2$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{3\cdot (x-2)-3x\cdot 1}{(x-2)^2}=-\dfrac{6}{(x-2)^2}$
\item[(c)] $f(x)=\frac{3x-8}{x-2}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $3x-8$ & $3$ & $x-2$ & $1$ & $(x-2)^2$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{3\cdot (x-2)-(3x-8)\cdot 1}{(x-2)^2}=\dfrac{2}{(x-2)^2}$
\item[(d)] $f(x)=\frac{2x}{x+3}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $2x$ & $2$ & $x+3$ & $1$ & $(x+3)^2$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{2\cdot (x+3)-2x\cdot 1}{(x+3)^2}=\dfrac{6}{(x+3)^2}$
\item[(e)] $f(x)=\frac{\frac{1}{2}x^2}{2x-5}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $\frac{1}{2}x^2$ & $x$ & $2x-5$ & $2$ & $(2x-5)^2$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{x\cdot (2x-5)-\frac{1}{2}x^2\cdot 2}{(2x-5)^2}=\dfrac{x^2-5x}{(2x-5)^2}$
\item[(f)] $f(x)=\frac{2x}{e^x-1}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $2x$ & $2$ & $e^x-1$ & $e^x$ & $(e^x-1)^2$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{2\cdot (e^x-1)-2x\cdot e^x}{(e^x-1)^2}=\dfrac{2e^x\cdot(1-x)-2}{(e^x-1)^2}$
\item[(g)] $f(x)=\frac{6-4x}{4x+3}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $6-4x$ & $-4$ & $4x+3$ & $4$ & $(4x+3)^2$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{-4\cdot (4x+3)-(6-4x)\cdot 4}{(4x+3)^2}=-\dfrac{36}{(4x+3)^2}$
\item[(h)] $f(x)=\frac{e^{2x}}{(\frac{1}{2}x-1)^2}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $e^{2x}$ & $2e^{2x}$ & $(\frac{1}{2}x-1)^2$ & $\frac{1}{2}x-1$ & $(\frac{1}{2}x-1)^4$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{2e^{2x}\cdot (\frac{1}{2}x-1)^2-e^{2x}\cdot (\frac{1}{2}x-1)}{(\frac{1}{2}x-1)^4}=\dfrac{2e^{2x}\cdot(\frac{1}{2}x-1)-e^{2x}}{(\frac{1}{2}x-1)^3}=\dfrac{e^{2x}\cdot(x-3)}{(\frac{1}{2}x-1)^3}$
\item[(i)] $f(x)=\frac{x^2+1}{(x+1)^2}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $x^2+1$ & $2x$ & $(x+1)^2$ & $2\cdot(x+1)$ & $(x+1)^4$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{2x\cdot (x+1)^2-(x^2+1)\cdot2\cdot(x+1)}{(x+1)^4}=\dfrac{2x\cdot (x+1)-(2x^2+2)}{(x+1)^3}=\dfrac{2x-2}{(x+1)^3}$
\item[(j)] $f(x)=\frac{(x-1)^3}{e^x}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $(x-1)^3$ & $3\cdot(x-1)^2$ & $e^x$ & $e^x$ & $e^{2x}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{3\cdot(x-1)^2\cdot e^x-(x-1)^3\cdot e^x}{e^{2x}}=\dfrac{(4-x)\cdot (x-1)^2}{e^x}$
\end{itemize}
\end{document