Abstände

columkle · Beitrag von **columkle** » Mi 3. Dez 2014, 10:23

Ich habe das Problem, dass die Abstände auf der Seite zu groß sind (siehe pdf). Die Datei ist Teil eines Buches. Ich packe mal den kompletten Code rein, da ich die Vermutung habe, dass es an der Buchdarstellung liegt.

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\begin{document}
\chapter{Differentialrechnung}
\section{Aufgaben}
\subsection*{Aufgabe 1}
Betrachten Sie die Funktion 
\begin{center}
$f(x)=x^n$\\[3mm]
$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
\end{center}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion mit Hilfe des Differentialquotienten (Grenzbetrachtung)
\subsection*{Aufgabe 2}
Betrachten Sie die Funktion 
\begin{center}
$f(x)=\sqrt{x}$\\[3mm]
$f:\mathbb{R}_{\geq0}\to \mathbb{R}$
\end{center}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion mit Hilfe des Differentialquotienten (Grenzbetrachtung)
\subsection*{Aufgabe 3}
Betrachten Sie die Funktion 
\begin{center}
$f(x)=x^2+4x-12$\\[3mm]
$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
\end{center}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion mit Hilfe des Differentialquotienten (Grenzbetrachtung)
\subsection*{Aufgabe 4}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen ohne Verwendung der Produkt-, Quotienten- bzw. Kettenregel
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=x+3$
\item[(b)] $f(x)=x^2-5x+2$
\item[(c)] $f(x)=4x^3-x^2-6x-7$
\item[(d)] $f(x)=2x^{13}+x^9-5x^5+3x^2-8$
\item[(e)] $f(x)=(x+3)^2$
\item[(f)] $f(x)=(2x-5)^2$
\item[(g)] $f(x)=(x-3)^4$
\item[(h)] $f(x)=(3x^2-5x)\cdot(3x^2+5x)$
\item[(i)] $f(x)=(x^2-5)\cdot(x+7)$
\item[(j)] $f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x^2+3x-1\vphantom{\big[\big]}}$
\end{itemize}
\subsection*{Aufgabe 5}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen ohne Verwendung der Produkt- bzw. Quotientenregel
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=ax^2-4x-6$
\item[(b)] $f(x)=\frac{1}{x}$
\item[(c)] $f(x)=\frac{3}{x^2}$
\item[(d)] $f(x)=-\frac{6}{x^4}$
\item[(e)] $f(x)=\sqrt{x}$
\item[(f)] $f(x)=\sqrt{3x+6}$
\item[(g)] $f(x)=\sqrt{2x^2-5x+1}$
\item[(h)] $f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}$
\item[(i)] $f(x)=\sqrt[3]{4x+1}$
\end{itemize}
\subsection*{Aufgabe 6}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen mit Hilfe der Kettenregel
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=(x+3)^2$
\item[(b)] $f(x)=(3x-2)^3$
\item[(c)] $f(x)=(3x^3+x^2-6x+3)^4$
\item[(d)] $f(x)=\sqrt{x^2-x+3}$
\item[(e)] $f(x)=\sqrt{5x^3-6x}$
\item[(f)] $f(x)=\ln(x+5)$
\item[(g)] $f(x)=\ln(x^2+5x-1)$
\item[(h)] $f(x)=\ln(x^3-2x^2-3)$
\item[(i)] $f(x)=\ln((x+3)^2)$
\item[(j)] $f(x)=e^{3x}$
\item[(k)] $f(x)=e^{-3x^2-2}$
\item[(l)] $f(x)=e^{4x^3+x^2-x}$
\end{itemize}
\subsection*{Aufgabe 7}
Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen mit Hilfe der Produktregel
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=(4x-2)\cdot e^x$
\item[(b)] $f(x)=(4x-2)\cdot \frac{1}{x}$
\item[(c)] $f(x)=(4x-2)\cdot \sqrt{x}$
\item[(d)] $f(x)=x^2\cdot e^x$
\item[(e)] $f(x)=(3x^2-5)\cdot \sqrt{x}$
\item[(f)] $f(x)=(3x-1)\cdot e^x$
\item[(g)] $f(x)=5x^2\cdot e^x$
\item[(h)] $f(x)=(2x^3-x)\cdot e^x$
\item[(i)] $f(x)=(3x-3)^3\cdot e^{2x}$
\item[(j)] $f(x)=(5x-x^2)\cdot e^x+2x$
\end{itemize}
\subsection*{Aufgabe 8}
Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen mit Hilfe der Quotientenregel
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=\frac{e^x}{x^2}$
\item[(b)] $f(x)=\frac{3x}{x-2}$
\item[(c)] $f(x)=\frac{3x-8}{x-2}$
\item[(d)] $f(x)=\frac{2x}{x+3}$
\item[(e)] $f(x)=\frac{\frac{1}{2}x^2}{2x-5}$
\item[(f)] $f(x)=\frac{2x}{e^x-1}$
\item[(g)] $f(x)=\frac{6-4x}{4x+3}$
\item[(h)] $f(x)=\frac{e^{2x}}{(\frac{1}{2}x-1)^2}$
\item[(i)] $f(x)=\frac{x^2+1}{(x+1)^2}$
\item[(j)] $f(x)=\frac{(x-1)^3}{e^x}$
\end{itemize}
\newpage
\noindent
\section{Lösungen}
\subsection*{Aufgabe 1}
\noindent
$\begin{aligned}
\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} &= \dfrac{(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}\\[3mm]
                                     &= \dfrac{\sum\limits_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}\cdot x^{n-k}\cdot \Delta x^{k}-x^n}{\Delta x}\\[3mm]   				                        
																		 &= \sum\limits_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}\cdot x^{n-k}\cdot \Delta x^{k-1}-x^n\cdot\Delta x^{-1}\\[3mm]
																		 &= \sum\limits_{k=1}^{n} \dbinom{n}{k}\cdot x^{n-k}\cdot \Delta x^{k-1}\\[3mm]
																		 &= n\cdot x^{n-1}+\dbinom{n}{2}\cdot x^{n-2}\cdot \Delta x+\ldots+\dbinom{n}{n-1}\cdot x\cdot \Delta x^{n-2}+\Delta x^{n-1}
\end{aligned}$\\[3mm]
Durchführung des Grenzübergangs $\Delta x\to 0$ liefert\\[3mm]
$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \ \Bigg(n\cdot x^{n-1}+\underbrace{\dbinom{n}{2}\cdot x^{n-2}\cdot \Delta x+\ldots+\dbinom{n}{n-1}\cdot x\cdot \Delta x^{n-2}+\Delta x^{n-1}}_{\to 0}\Bigg)=n\cdot x^{n-1}$
\subsection*{Aufgabe 2}
$\begin{aligned}
\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} &= \dfrac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}\\[3mm]
                                     &= \dfrac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}\cdot\frac{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}\\[3mm]   				                          &= \dfrac{\Delta x}{\Delta x\cdot(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}\\[3mm]
																		 &= \dfrac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}\\[3mm]
\end{aligned}$\\[3mm]
Durchführung des Grenzübergangs $\Delta x\to 0$ liefert\\[3mm]
$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \ \dfrac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{x}}$
\subsection*{Aufgabe 3}
$\begin{aligned}
\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} &= \dfrac{(x+\Delta x)^2+4\cdot(x+\Delta x)-12-(x^2+4x-12)}{\Delta x}\\[3mm]
                                     &= \dfrac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2+4x+4\cdot\Delta x-12-x^2-4x+12}{\Delta x}\\[3mm]   				                          
																		 &= \dfrac{2x\Delta x+\Delta x^2+4\cdot\Delta x}{\Delta x}\\[3mm]
																		 &= 2x+\Delta x+4\\[3mm]
\end{aligned}$\\[3mm]
Durchführung des Grenzübergangs $\Delta x\to 0$ liefert\\[3mm]
$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \ \Big(2x+\Delta x+4\Big)=2x+4$
\subsection*{Aufgabe 4}
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=x+3$\\[3mm]
           $f'(x)=1$
\item[(b)] $f(x)=x^2-5x+2$\\[3mm]
           $f'(x)=2x-5$
\item[(c)] $f(x)=4x^3-x^2-6x-7$\\[3mm]
           $f'(x)=12x^2-2x-6$
\item[(d)] $f(x)=2x^{13}+x^9-5x^5+3x^2-8$\\[3mm]
           $f'(x)=26x^{12}+9x^8-25x^4+6x$
\item[(e)] $f(x)=(x+3)^2=x^2+6x+9$\\[3mm]
           $f'(x)=2x+6$
\item[(f)] $f(x)=(2x-5)^2=4x^2-20x+25$\\[3mm]
           $f'(x)=8x-20$
\item[(g)] $f(x)=(x-3)^4=x^4-12x^3+54x^2-108x+81$\\[3mm]
           $f'(x)=4x^3-36x^2+108x-108$
\item[(h)] $f(x)=(3x^2-5x)\cdot(3x^2+5x)=9x^4-25x^2$\\[3mm]
           $f'(x)=36x^3-50x$
\item[(i)] $f(x)=(x^2-5)\cdot(x+7)=x^3+7x^2-5x-35$\\[3mm]
           $f'(x)=3x^2+14x-5$
\item[(j)] $f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x^2+3x-1\vphantom{\big[\big]}}=\sqrt[3]{(x-1)^3\vphantom{\big[\big]}}=x-1$\\[3mm]
           $f'(x)=1$
\end{itemize}
\subsection*{Aufgabe 5}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen ohne Verwendung der Produkt- bzw. Quotientenregel
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=ax^2-4x-6$\\[3mm]
           $f'(x)=2ax-4$
\item[(b)] $f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$\\[3mm]
           $f'(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$
\item[(c)] $f(x)=\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$\\[3mm]
           $f'(x)=-6x^{-3}=-\frac{6}{x^3}$
\item[(d)] $f(x)=-\frac{6}{x^4}=-6x^{-4}$\\[3mm]
           $f'(x)=24x^{-5}=\frac{24}{x^5}$
\item[(e)] $f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$\\[3mm]
           $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
\item[(f)] $f(x)=\sqrt{3x+6}=(3x+6)^{\frac{1}{2}}$\\[3mm]
           $f'(x)=\frac{3}{2}(3x+6)^{-\frac{1}{2}}=\frac{3}{2\sqrt{3x+6}}$
\item[(g)] $f(x)=\sqrt{2x^2-5x+1}=(2x^2-5x+1)^{\frac{1}{2}}$\\[3mm]
           $f'(x)=\frac{1}{2}(4x-5)(2x^2-5x+1)^{-\frac{1}{2}}=\frac{4x-5}{2\sqrt{2x^2-5x+1}}$
\item[(h)] $f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}=\frac{-2}{x^2-1}=-2(x^2-1)^{-1}$\\[3mm]
           $f'(x)=4x(x^2-1)^{-2}=\frac{4x}{(x^2-1)^2}$
\item[(i)] $f(x)=\sqrt[3]{4x+1}=(4x+1)^{\frac{1}{3}}$\\[3mm]
           $f'(x)=\frac{4}{3}(4x+1)^{-\frac{2}{3}}=\frac{4}{3\sqrt[3]{(4x+1)^2}}$
\end{itemize}
\subsection*{Aufgabe 6}
Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen mit Hilfe der Kettenregel
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=(x+3)^2$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=x+3$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=u^2$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{2\cdot(x+3)}1}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{2\cdot(x+3)}_{\text{äußere Ableitung}}=2\cdot(x+3)$
\item[(b)] $f(x)=(3x-2)^3$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=3x-2$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=u^3$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{3\cdot(3x-2)^2}3}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{3\cdot(3x-2)^2}_{\text{äußere Ableitung}}=9\cdot(3x-2)^2$
\item[(c)] $f(x)=(3x^3+x^2-6x+3)^4$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=3x^3+x^2-6x+3$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=u^4$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{4\cdot(3x^3+x^2-6x+3)^3}(9x^2+2x-6)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{4\cdot(3x^3+x^2-6x+3)^3}_{\text{äußere Ableitung}}=(36x^2+8x-24)\cdot(3x^3+x^2-6x+3)^3$
\item[(d)] $f(x)=\sqrt{x^2-x+3}$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=x^2-x+3$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=\sqrt{u}$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{\frac{1}{2\sqrt{x^2-x+3}}}(2x-1)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{x^2-x+3}}}_{\text{äußere Ableitung}}=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+3}}$
\item[(e)] $f(x)=\sqrt{5x^3-6x}$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=5x^3-6x$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=\sqrt{u}$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{\frac{1}{2\sqrt{5x^3-6x}}}(15x^2-6)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{5x^3-6x}}}_{\text{äußere Ableitung}}=\dfrac{15x^2-6}{2\sqrt{5x^3-6x}}$
\item[(f)] $f(x)=\ln(x+5)$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=x+5$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=\ln(u)$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{\frac{1}{x+5}}1}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\frac{1}{x+5}}_{\text{äußere Ableitung}}=\dfrac{1}{x+5}$
\item[(g)] $f(x)=\ln(x^2+5x-1)$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=x^2+5x-1$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=\ln(u)$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{\frac{1}{x^2+5x-1}}(2x+5)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\frac{1}{x^2+5x-1}}_{\text{äußere Ableitung}}=\dfrac{2x+5}{x^2+5x-1}$
\item[(h)] $f(x)=\ln(x^3-2x^2-3)$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=x^3-2x^2-3$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=\ln(u)$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{\frac{1}{x^3-2x^2-3}}(3x^2-4x)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\frac{1}{x^3-2x^2-3}}_{\text{äußere Ableitung}}=\dfrac{3x^2-4x}{x^3-2x^2-3}$
\item[(i)] $f(x)=\ln((x+3)^2)$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=(x+3)^2$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=\ln(u)$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{\frac{1}{(x+3)^2}}(2x+6)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\frac{1}{(x+3)^2}}_{\text{äußere Ableitung}}=\dfrac{2x+6}{(x+3)^2}$
\item[(j)] $f(x)=e^{3x}$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=3x$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=e^u$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{\vphantom{e^{3x}}3}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{e^{3x}}_{\text{äußere Ableitung}}=3e^{3x}$
\item[(k)] $f(x)=e^{-3x^2-2}$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=-3x^2-2$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=e^u$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{-6x}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\vphantom{-6x}e^{-3x^2-2}}_{\text{äußere Ableitung}}=-6x\cdot e^{-3x^2-2}$
\item[(l)] $f(x)=e^{4x^3+x^2-x}$\\[3mm]
           Innere Funktion:\hspace*{3mm}$u(x)=4x^3+x^2-x$\\[3mm]
           Äußere Funktion:\hspace*{3mm}$f(u)=e^u$\\[3mm]
           $f'(x)=\underbrace{(12x^2+2x-1)}_{\text{innere Ableitung}}\cdot\underbrace{\vphantom{(12x^2+2x-1)}e^{4x^3+x^2-x}}_{\text{äußere Ableitung}}=(12x^2+2x-1)\cdot e^{4x^3+x^2-x}$
\end{itemize}\subsection*{Aufgabe 7}
\underline{Formel (Produktregel)}\\[3mm]
$f(x)=u\cdot v\\[3mm]
f'(x)=u'\cdot v+u\cdot v'$
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=(4x-2)\cdot e^x$\vspace*{-2mm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $4x-2$ & $4$ & $e^x$ & $e^x$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=4\cdot e^x+(4x-2)\cdot e^x=e^x\cdot (4x+2)$
\item[(b)] $f(x)=(4x-2)\cdot \frac{1}{x}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $4x-2$ & $4$ & $\frac{1}{x}$ & $-\frac{1}{x^2}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=4\cdot \frac{1}{x}+(4x-2)\cdot (-\frac{1}{x^2})=\frac{4}{x}-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}=\frac{2}{x^2}$
\item[(c)] $f(x)=(4x-2)\cdot \sqrt{x}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $4x-2$ & $4$ & $\sqrt{x}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=4\cdot \sqrt{x}+(4x-2)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=4\cdot\sqrt{x}+2\cdot\sqrt{x}-\frac{\sqrt{x}}{x}=\sqrt{x}\cdot(6-\frac{1}{x})$
\item[(d)] $f(x)=x^2\cdot e^x$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $x^2$ & $2x$ & $e^x$ & $e^x$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=e^x\cdot(2x+x^2)$
\item[(e)] $f(x)=(3x^2-5)\cdot \sqrt{x}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $3x^2-5$ & $6x$ & $\sqrt{x}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=6x\cdot \sqrt{x}+(3x^2-5)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}\cdot(\frac{15}{2}x-\frac{5}{2x})$
\item[(f)] $f(x)=(3x-1)\cdot e^x$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $3x-1$ & $3$ & $e^x$ & $e^x$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=3\cdot e^x+(3x-1)\cdot e^x=e^x\cdot (3x+2)$
\item[(g)] $f(x)=5x^2\cdot e^x$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $5x^2$ & $10x$ & $e^x$ & $e^x$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=10x\cdot e^x+(5x^2)\cdot e^x=e^x\cdot (10x+5x^2)$
\item[(h)] $f(x)=(2x^3-x)\cdot e^x$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $2x^3-x$ & $6x^2-1$ & $e^x$ & $e^x$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=(6x^2-1)\cdot e^x+(2x^3-x)\cdot e^x=e^x\cdot (2x^3+6x^2-x-1)$
\item[(i)] $f(x)=(3x-3)^3\cdot e^{2x}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $(3x-3)^3$ & $9\cdot(3x-3)^2$ & $e^{2x}$ & $2e^{2x}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=9\cdot(3x-3)^2\cdot e^{2x}+(3x-3)^3\cdot 2e^{2x}=e^{2x}\cdot(3x-3)^2\cdot (6x+3)$
\item[(j)] $f(x)=(5x-x^2)\cdot e^x+2x$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $5x-x^2$ & $5-2x$ & $e^{x}$ & $e^{x}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=(5-2x)\cdot e^x+(5x-x^2)\cdot e^x+2=e^x\cdot(-x^2+3x+5)+2$
\end{itemize}
\subsection*{Aufgabe 8}
 \underline{Formel (Quotientenregel)}\\[3mm]
$f(x)=\dfrac{u}{v}\\[3mm]
f'(x)=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x)=\frac{e^x}{x^2}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $e^x$ & $e^x$ & $x^2$ & $2x$ & $x^4$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{e^x\cdot x^2-e^x\cdot 2x}{x^4}=\dfrac{e^x\cdot x-e^x\cdot 2}{x^3}=\dfrac{e^x\cdot(x-2)}{x^3}$
\item[(b)] $f(x)=\frac{3x}{x-2}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $3x$ & $3$ & $x-2$ & $1$ & $(x-2)^2$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{3\cdot (x-2)-3x\cdot 1}{(x-2)^2}=-\dfrac{6}{(x-2)^2}$
\item[(c)] $f(x)=\frac{3x-8}{x-2}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $3x-8$ & $3$ & $x-2$ & $1$ & $(x-2)^2$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{3\cdot (x-2)-(3x-8)\cdot 1}{(x-2)^2}=\dfrac{2}{(x-2)^2}$
\item[(d)] $f(x)=\frac{2x}{x+3}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $2x$ & $2$ & $x+3$ & $1$ & $(x+3)^2$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{2\cdot (x+3)-2x\cdot 1}{(x+3)^2}=\dfrac{6}{(x+3)^2}$
\item[(e)] $f(x)=\frac{\frac{1}{2}x^2}{2x-5}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $\frac{1}{2}x^2$ & $x$ & $2x-5$ & $2$ & $(2x-5)^2$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{x\cdot (2x-5)-\frac{1}{2}x^2\cdot 2}{(2x-5)^2}=\dfrac{x^2-5x}{(2x-5)^2}$
\item[(f)] $f(x)=\frac{2x}{e^x-1}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $2x$ & $2$ & $e^x-1$ & $e^x$ & $(e^x-1)^2$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{2\cdot (e^x-1)-2x\cdot e^x}{(e^x-1)^2}=\dfrac{2e^x\cdot(1-x)-2}{(e^x-1)^2}$
\item[(g)] $f(x)=\frac{6-4x}{4x+3}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $6-4x$ & $-4$ & $4x+3$ & $4$ & $(4x+3)^2$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{-4\cdot (4x+3)-(6-4x)\cdot 4}{(4x+3)^2}=-\dfrac{36}{(4x+3)^2}$
\item[(h)] $f(x)=\frac{e^{2x}}{(\frac{1}{2}x-1)^2}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $e^{2x}$ & $2e^{2x}$ & $(\frac{1}{2}x-1)^2$ & $\frac{1}{2}x-1$ & $(\frac{1}{2}x-1)^4$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{2e^{2x}\cdot (\frac{1}{2}x-1)^2-e^{2x}\cdot (\frac{1}{2}x-1)}{(\frac{1}{2}x-1)^4}=\dfrac{2e^{2x}\cdot(\frac{1}{2}x-1)-e^{2x}}{(\frac{1}{2}x-1)^3}=\dfrac{e^{2x}\cdot(x-3)}{(\frac{1}{2}x-1)^3}$
\item[(i)] $f(x)=\frac{x^2+1}{(x+1)^2}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $x^2+1$ & $2x$ & $(x+1)^2$ & $2\cdot(x+1)$ & $(x+1)^4$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{2x\cdot (x+1)^2-(x^2+1)\cdot2\cdot(x+1)}{(x+1)^4}=\dfrac{2x\cdot (x+1)-(2x^2+2)}{(x+1)^3}=\dfrac{2x-2}{(x+1)^3}$
\item[(j)] $f(x)=\frac{(x-1)^3}{e^x}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|>{\centering} p{2cm}|}\hline
\rule{0pt}{12pt}  $u$ & $u'$ & $v$ & $v'$ & $v^2$\tabularnewline\hline\hline
\rule{0pt}{12pt} $(x-1)^3$ & $3\cdot(x-1)^2$ & $e^x$ & $e^x$ & $e^{2x}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f'(x)=\dfrac{3\cdot(x-1)^2\cdot e^x-(x-1)^3\cdot e^x}{e^{2x}}=\dfrac{(4-x)\cdot (x-1)^2}{e^x}$
\end{itemize}
\end{document

columkle · Beitrag von **columkle** » Mi 3. Dez 2014, 10:25

Leider kann ich kein pdf hochladen, weil ich immer eine Fehler meldung erhalten. Der Abstand taucht auf der ersten Seite der Lösungen auf

Johannes_B · Beitrag von **Johannes_B** » Mi 3. Dez 2014, 10:36

Dateiuploads sind hier schon lange kaputt.

Kannst du keine Minimalbeispiel erstellen? So kannst du selbst herausfinden, was los ist.

Du solltest dir dringend eine Einführung durchlesen, ganz besonders aber auch mathmode. Weiterhin solltest du dir ein Paket wie beispielsweise exsheets anschauen.

esdd · Beitrag von **esdd** » Mi 3. Dez 2014, 10:49

Bei zweiseitigen KOMA-Script Dokumenten ist automatisch \flushbottom aktiv, d.h. dehnbare Abstände auf einer Seite werden so gestreckt, dass die Grundlinien der letzten Zeile auf einer Seite möglichst auf gleicher Höhe liegen. Wenn gewünscht lässt sich das mit dem Befehl \raggedbottom abschalten.

Gruß
Elke

columkle · Beitrag von **columkle** » Mi 3. Dez 2014, 10:58

Es liegt offensichtlich daran, dass ich durch clearpage einen Seitenumbruch erzwinge. Weglassen bringt das gewünschte Bild ohne Abstände. Was könnte man machen um trotzdem einen Seitenumbruch hinzubekommen?

esdd · Beitrag von **esdd** » Mi 3. Dez 2014, 11:09

columkle hat geschrieben:Es liegt offensichtlich daran, dass ich durch clearpage einen Seitenumbruch erzwinge. Weglassen bringt das gewünschte Bild ohne Abstände. Was könnte man machen um trotzdem einen Seitenumbruch hinzubekommen?

Das finde ich jetzt schon ein wenig seltsam: \clearpage kommt in Deinem viel zu langen Beispiel oben gar nicht vor.

Was ist der Unterschied zwischen \newpage, \pagebreak und \clearpage? sollte Dir aber weiter helfen.

columkle · Beitrag von **columkle** » Mi 3. Dez 2014, 11:16

Ich meine natürlich \newpage. Vorher hatte ich clearpage verwendet und versucht, ob es mit newpage besser geht.

columkle · Beitrag von **columkle** » Mi 3. Dez 2014, 11:20

Mit \raggedbottom erhalten ich das gewünschte Ergebnis. Danke für die Hilfe!

Noch so einer · Beitrag von **Noch so einer** » Mi 3. Dez 2014, 13:07

Du solltest dir unbedingt Pakete wie exsheets oder Klassen wie exam anschauen. Die Aufgaben von Hand zu nummerieren ist etwas – wie sage ich es möglichst freundlich – absonderlich und kein guter Stil.

Im übrigens ist es etwas verwunderlich, dass ausgerechnet ein \clearpage eine Überdehnung der vertikalen Abstände verursachen soll. Diese Brechstange verwendet man nämlich eigentlich ganz gezielt, um von Fall zu Fall dieses Problem zu verhindern, statt den Bulldozer \raggedbottom zu verwenden und so ggf. auch unproblematische Seiten zu verschlechtern.

esdd · Beitrag von **esdd** » Mi 3. Dez 2014, 13:45

Noch so einer hat geschrieben:Die Aufgaben von Hand zu nummerieren ist etwas – wie sage ich es möglichst freundlich – absonderlich und kein guter Stil..

Selbst die Aufzählungen sind von Hand durchnummeriert ...

Noch so einer hat geschrieben:Im übrigens ist es etwas verwunderlich, dass ausgerechnet ein \clearpage eine Überdehnung der vertikalen Abstände verursachen soll.

Ich habe den Code mal laufen lassen: Das Problem tritt nicht auf der Seite auf, die manuell umbrochen wird, sondern auf der nächsten. Der nachfolgende Text erlaubt nur an wenigen Stellen Seitenumbrüche und die Verteilung würde besser, wenn der Anfang dieses Abschnittes noch auf der Vorseite landen würde. Nur insofern ist der manuelle Umbruch "Schuld".