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\documentclass{[12pt,a4paper]{scrartcl}}

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\begin{document}

\begin{titlepage}

\begin{center}
	{\large \textbf{Vorbereitung zu Mathematik Prüfung im Sommersemester 2012}}
	
	\bigskip
	\bigskip
	
		\begin{tabular}{l}
		Name:\\
		Bearbeitungsbeginn:\\
		Bearbeitungsende: 
		\end{tabular}

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\tableofcontents

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\section{Prüfungsfragen}
\subsection{Vektorraum}
Was ist ein Vektorraum? Geben Sie verschiedene Beispiele an und erklären sie die Begriffe \textit{linear abhängig, Basis} und \textit{linearer Teilraum}.

\subsection{Dimensionsformel}
Was besagt die Dimensionsformel?

\subsection{Abbildungen}
Was sind lineare Abbildungen und wie hängen sie mit Matrizen zusammen?

\subsection{Differenzierbarkeit}
Wann heißt eine Funktion $ f: R^{m} \to R^{n} $ differenzierbar in einem Punkt? Was ist die Ableitung und wie berechnet man sie? Erklären sie den Zusammenhang zur partiellen Differenzierbarkeit.

\subsection{Determinante}
Was ist eine Determinante? Erklären Sie dazu die nötigen Begriffe über Multilinearformen. Welche Eigenschaften der Determinante kennen Sie?

\subsection{Matrizen}
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen?

\subsection{Stetigkeit}
Wann heißt eine Abbildung zwischen zwei metrischen Räumen stetig? Welche äquivalenten Charakterisierungen von Stetigkeiten für $ f: R^{m} \to R^{n} $ kenne Sie?

\subsection{Gradient}
Was wissen Sie über den Gradienten von Funktionen?

\subsection{Extrema \RM{1}}
Geben Sie notwendige und hinreichende Kriterien für lokale Extrema an.

\subsection{Extrema \RM{2}}
Was wissen Sie über lokale Extrema unter Nebenbedingungen?

\section{Bearbeitung der Prüfungsfragen}
\subsection{Vektorraum}
\subsubsection{Definition Vektorraum}
Eine nicht leere Menge $ V $ , für deren Elemente eine Addition (+) und eine Multiplikation (*) mit reellen Zahlen erklärt ist heißt reeller \textit{Vektorraum} $ V=[V,+,*] $ oder \textit{linearer Raum}. Die Elemente von $V$ heißen \textit{Vektoren}, wenn folgende Axiome erfüllt sind:\\

\begin{enumerate}
\item{\textit{Ausführbarkeit und Eindeutigkeit:}}\\
Zu je zwei Elementen $a,b \in V$ gibt es genau ein Element $a+b \in V$ , die Summe von \textbf{a} und \textbf{b}.\\

\item{\textit{Assoziativität:}}\\
Für alle $a,b,c \in V $ gilt: $ a+(b+c)=(a+b)+c $.\\

\item{\textit{Kommutativität:}}\\
Für alle $a,b,c \in V $ gilt: $ a+b=b+a$.\\

\item{Umkehrbarkeit:}\\
Für alle $a,b \in V$ gibt es ein $x \in V$, so dass $a+x=b$ ist.\\

\item{\textit{Ausführbarkeit und Eindeutigkeit \RM{2}}}\\
Zu jedem Elemnet $a \in V$ und jeder reellen Zahl $\alpha$ gibt es genau ein Element $\alpha a \in V $, dass \textit{$\alpha-fache$} von $a$.\\

\item{\textit{Assoziativität \RM{2}}}\\
Für alle $a \in V$ und alle reellen Zahlen $\alpha,\beta$ gilt: $(\alpha \cdot \beta)a=\alpha(\beta a)$.\\

\item{\textit{Einselement}}\\
Für alle $ a \in V$ gilt: $ 1a=a $.\\

\item{\textit{Distributivgesetze:}}\\
Für alle $a,b \in V$ und alle reellen Zahlen $\alpha,\beta$ gilt: $\alpha(a+b)=\alpha a + \alpha b$ und $(\alpha + \beta)a=\alpha a + \beta a$.\\

\end{enumerate}

\subsubsection{\textit{Beispiele für Vektorräume}}

\begin{enumerate}

\item Der Vektorraum der geordneten Paare (x,y) der reellen Zahlen x,y mit den Verknüpfungen $ (x,y)+(\acute{x}+\acute{y}) \stackrel{def}{=} (x+ \acute{x}, y+ \acute{y}) $ und $ \alpha(x,y) \stackrel{def}{=} (\alpha x , \alpha y) $.

\item In einem abgeschlossenen Intervall stetiger Funktionen mit der Verknüpfung $ [f+g](x) \stackrel{def}{=} f(x)+g(x) $ und $ [\alpha f ](x) \stackrel {def}{=} \alpha \cdot f(x)$.\\

\item Alle reellen Matrizen vom Typ [m,n] bilden reellen Vektorraum.\\

\end{enumerate}´

\subsubsection{Untervektorraum}
Es sei $V=[V,+,*]$ ein Vektorraum und \textbf{U} eine nicht leere Teilmenge von \textbf{V}. Ist \textbf{U} bezüglich der Verknüpfungen $[+, \cdot]$ selbst ein Vektorraum, so heißt ${U=[U,+, \cdot]}$ Untervektorraum von \textbf{V}.\\
Will man prüfen ob \textbf{U}ein Untervektorraum von \textbf{V} ist, so ist es nicht nötig, die Gültigkeit aller Axiome nachzuwesien, denn es gilt das Kriterium:\\
${U=[U,+, \cdot]}$ mit $\emptyset \neq U \subseteq V$ ist Untervektorraum von ${V=[V,+, \cdot]}$ genau dann, wenn für alle $a,b \in U$ und $\alpha a \in U$ (Abgeschlossenheit von \textbf{U} bezüglich $+$ und $\cdot$).

\subsubsection{Beispiele für Untervektorräume}

\begin{enumerate}

\item Jeder Vektorraum besitzt zwei triviale Untervektorräume, sich selbst sowie der der den Nullvektor als einziges Element enthält.\\

\item Im Vektorraum der geordneten n-Tupel reeller Zehalen bildet die Teilmenge, welche alle n-Tupel (x$_{1}$,x$_{2}$, ..., x$_{n}$) mit der Eigenschaft $c_{1}x_{1} + c_{2}x_{2} + ...+ c_{n}x_{n} = 0$ (c$_{i}$ feste Zahlen) enthält, bezüglich der für n-Tupel definierten Verknüpfung einem Untervektorraum.\\

\item Im Vektorraum der Polynome bildet die Teilmenge aller Polynome vom Grad kleiner als \emph{n} mit den für Polynome definierten Verknüpfungen einen Untervektorraum.\\

\end{enumerate}

\subsubsection{\textit{Lineare Abhängigkeit}

Es sei $V=[V,+,*]$ ein Vektorraum und \textbf{S} eine beliebige Anzahl von Vektoren.\\
\textsl{Definition:}\\
Ein Vektor $x \in V$ heißt \textit{linear abhängig} von \textbf{S} genau dann, wenn er Linearkombinationen von \textbf{S} ist, dh. wenn $x \in $ \textfrak{L}(\textbf{S}). \\

\subsubsection{\textbf{Beispiele lineare Abhängigkeit}

\begin{enumerate}

\item Der Vektor $x=(3,-7,0) x \in V$ ist linear abhängig von $S={(1,-1,0);(0,1,1);(3,0,5);(2,-1,3)}$, denn es ist zum Beispiel $x=2(1,-1,0)-3(3,0,5)+5(2,-1,3) \Rightarrow x \in $ \textfrak{L}\textbf{S}.\\

\item Der Vektor $x=(3,-7,0)$ ist nicht linear abhängig von $S={(,1,1);(0,-2,5)}$ da die erste Komponente immer Null ist, damit ist $x \notin $ \textfrak{L}\textbf{S}.\\

\item Der Nullvektor ist linear abhängig von jeder Menge \textbf{S}, denn es ist $0 \in $\textfrak{L}\textbf{S} für jedes \textbf{S}.

\end{enumerate}

\subsubsection{Basis}

Ist \textbf{B} ein Erzeugendensystem des Vektorraumes \textbf{V}, so lässt sich jeder Vektor $X \in V$ als Linearkombinationen von Vektoren aus \textbf{B} Darstellen. Ist \textbf{B} überdies linear unabhängig, so sit die Darstellung von x als Linearkombination von Vektoren aus \textbf{B} auch eindeutig. Ein derartiges, linear unabhängiges Erzeugendensystem \textbf{B} heißt eine \textit{Basis} von \textbf{V}.\\

\textsl{Definition}
Ist $V=[V+,*]$ ein Vektorraum, so heißt jede Teilmenge $\emptyset \neq B \subseteq V$ mit den Eigenschaften\\
\begin{enumerate}
\item \textfrak{L}(\textbf{B}) $=V$ 

\item \textbf{B} linear unabhängig 

\end{enumerate}

eine Basis von \textbf{V}.


\end{document}
%Ende des Dokumentes[\code]

Folgende Fehlermeldung erscheint:
Error line 2: Latex Error: File ´.cls' not found. Type ...
Error line 1: Fatal Error occurre, no output pdf file produced!

Für eine Hilfestellung wäre ich sehr Dankbar!

\subsubsection{\textit{Lineare Abhängigkeit}

 \end{enumerate}´ 

 \subsubsection{\textbf{Beispiele lineare Abhängigkeit}