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\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.5mm}}

\begin{document}
\title{A Minimal Working Example}
\author{Zsub}
% Titelblatt

\begin{titlepage}

\begin{center}  

\textsc{\LARGE Technische Universit\"at Berlin}\\[1.5cm]

\textsc{\Large Bachelorarbeit}\\[0.5cm]

\HRule \\[0.4cm]
{ \huge \bfseries Portfoliooptimierung mittels mathematischer Optimierung}\\[0.4cm]
\HRule \\[1.5cm]

\begin{tabular}[t]{ll} 
\noindent
Author: & mustermann \\
Fakult\"at: & II \\
Studiengang: & Wirtschaftsmathematik \\
Matrikelnummer: & 1234567\\
\\
Erstgutachter: & Prof. Dr. muster \\
Zweitgutachter: & Dr. muster
\end{tabular}

\vfill

{\large \today}
\end{center}

\end{titlepage}




% Inhaltsverzeichnis usw.

\pagenumbering{Roman} 

% Die eidesstattliche Erklärung mit Unterschrift
\chapter*{Erkl\"arung der Urheberschaft}

Hiermit erkl\"are ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstst\"andig und eigenh\"andig sowie ohne unerlaubte fremde Hilfe und ausschlie\ss{}lich unter Verwendung der aufgef\"uhrten Quellen und Hilfsmittel angefertigt habe.\\

\vspace{50pt} 
\noindent\rule{5cm}{.4pt}\hfill\rule{5cm}{.4pt}\par 
\noindent Datum, Ort \hfill Unterschrift 

\chapter*{Abstract}
Diese Arbeit besch\"aftigt sich mit den bekannten Methoden der Mathematischen Optimierung zur Berechnung diversifizierter Finanz-Portfolios und soll einen \"Uberblick \"uber praxisnahe Anwendungen geben. Es wird gezeigt, dass es Privatanlegern durch Anwendung der vorgestellten Methoden m\"oglich ist an den Finanzm\"arkten, durch risikobehaftete Investments, Geld zu verdienen.\\
Nach einer Grundlegenden Einf\"uhrung werden Algorithmen zur Portfolio-Optimierung vorgestellt. Au\ss{}erdem wird gezeigt, wie man diese Algorithmen in der Statistik-Software GNU R implementiert und welche Performance zu erwarten ist. Letzteres wird mittels historsche Backtests verdeutlicht.





\chapter*{Symbol- u. Abk\"urzungsverzeichnis}

\begin{tabular}[t]{ll} 

\noindent
CFD & Differenzkontrakt \\

I.d.R. & In der Regel \\

\\
I & Menge aller handelbaren Finanztitel

\end{tabular}






\setcounter{tocdepth}{1}
\tableofcontents





% Kapitel

\pagenumbering{arabic} 

\chapter{Einleitung} 
Viele Menschen entscheiden sich in der heutigen Zeit dazu ihre Finanzen selbst zu verwalten. Hierzu er\"offnen sie i.d.R. ein Depot bei einem Online-Broker und k\"onnen \"uber dessen Software Finanztitel wie Forex, Aktien, CFD's, Futures und Optionen kaufen und verkaufen. Laut einer Studie der Univ\"arsit"aten von Chicago und California scheitern allerdings gut 85 Prozent aller Privatanleger an verlieren Geld an der B\"orse \footnote{\label{foot:1} http://www.handelsblatt.com/finanzen/anlagestrategie/zertifikate/nachrichten/studie-was-daytrader-wissen-sollten/6590972.html, Zugriff 31.10.2015}. Gleichzeitig scheinen gro\ss{}e Finanzinstiture mittels sogenannter High-Tech Handelsprogramme unmengen Geld zu verdienen.\\
Ziel dieser Arbeit ist, zu  untersuchen, ob es Privatanlegern mittels Mathematischer Methoden zur Portfolio-Optimierung m\"oglich ist, Gewinn am Finanzmarkt zu erwirtschaften. Hierf\"ur untersuchen wir die Grundmethoden der Portfolio-Optimierung, welche im Buch 'Optimization Methods in Finance' von G. Cornuejols und R. T\"ut\"unc\"u zusammengefasst wurden und suchen uns anschlie\ss{}end eine Methode zur splieltheoretischen Orderbuchanalyse aus den B\"uchern 'Networks, Crowds, and Markets. Reasoning about a Highly Connected World' und 'Majority Judgement - Measuring, Ranking, and Electing'.\\
Es wird stets erst die Theorie erl\"autert, dann auf einen passenden Algorithmus eingegangen und dann ein passenden Verfahren in GNU R implementiert und getestet. Behandet werden Verfahren f\"ur den Handel mit Optionen, Indizes, CFD's und Festverzinslichen Anlagen, au\ss{}erdem wird die M\"oglichkeit Finanztitel mit Hebel zu handeln nicht genutzt. Die Arbeit schlie\ss{}t mit einer Zusammenfassung der Ergebnisse und einem Ausblick auf m\"ogliche Weiterentwicklungen.


\chapter{Grundlagen}
Wir betrachten ein Ein-Perioden Finanzmarktmodell, welches nur Aktien handeln soll. Wir nehmen folgendes an:\\
\\
1. Der Kauf und Verkauf von Aktien kostet nichts, es entstehen also keine Transaktionskosten oder Steuern. \\
2. Leerverk\"aufe von Aktien sind erlaubt. Ein Leerverkauf bezeichnet den Vorgang, bei dem wir Aktien verkaufen die wir erst zu einem Sp\"ateren Zeitpunkt kaufen. \\
3. Wir k\"onnen Wertpapiere in beliebiger Menge handeln, jedes Wertpapier sei hierbei beliebig teilbar. Wertpapiere muss nicht als ganzes gehandelt werden, der handel mit Bruchst\"ucken ist zul\"assig. \\
4. Die Preise der Finanztitel werden durch unsere K\"aufe und Verk\"aufe nicht beeinflusst. \\
5. Gleiche Finanztitel haben gleiche Preise, es gibt keinen Mengenrabat, Kaufs- und Verkaufspreis sind gleich. \\
6. Verkaufen wir ein Asset, so haben wir zum Zeitpunkt 0 den aktuellen Preis des Assets zu bezahlen und bekommen zum Zeitpunk 1 die Differenz aus alten und neuen Preis ausgezahlt, sofern diese positiv ist (ist sie negativ, so haben wir die Differenz zu bezahlen).
\\
Sei $i\in I$ ein Finanztitel, $S_0^i$ und $S_1^i$ sei der Preis von $i$ zum Zeitpunkt 0 bzw. 1. Wir definieren die Rendite $R_i$ von $i$, mit $(\Omega, \mathbb{P})$ als dazugeh\"origen Wahrscheinlichkeitsraum, wie folgt:
\begin{align} 
R_i:\Omega \rightarrow \mathbb{R} , w \mapsto \frac{S_1^i - S_0^i}{S_0^i}
\end{align}
Damit erf\"ullt $R_i$ die Gleichung $S_1^i=S_0^i(1+R_i (w))$. Wir erwarten, dass uns der Kauf des Finanztitels $i$ eine Rendite $\mu_i=E(R_i)$ bei einer Varianz von $\sigma^2=Var(R_i)$ einbringt.\\
Wir bezeichnen im folgenden $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ als Portfolio, hierbei sei $x_i,i\in I$ der Prozentuale-Anteil des Geldes, welches wir zum Zeitpunkt 0 in den Kauf oder Verkauf der Finanztitel aus $I$ stecken. Es gilt $\sum_{i=1}^n x_i = 1$. Wie aus dem Grundlagenkurs Wahrscheinlichkeitstheorie I bekannt, folgt aus der Linearit\"at des Erwartungswerts und der linearen Transformation der Summe der Varianz, dass f\"ur die Rendite des Portfolios $R_P$ gilt:

\begin{align}
E(x) = \sum_{i=1}^n x_i \mu_i , Var(x) = \sigma^2 = \sum_{i=1}^n \sigma^2 x_i^2 + 2 \sum_i^n \sum_{j>1} cov_{i,j} x_i x_j , 
\end{align}
$$cov_{i,j} = E((R_i - E(R_i))(R_j - E(R_j)))$$

Im folgenden sei $Q=(cov_{i,j}\sigma_i \sigma_j )_{i,j}$ die Kovarianzmatrix. Nun k\"onnen wir das Problem der Portfolio-Optimierung als sogenanntes Quadratische Programm schreiben: \\
\begin{align}
min ~ x^T Q x
\end{align}
\begin{align}
s.t. ~ \mu ^T x \geq R
\end{align}
\begin{align}
~~~~~ \sum_{i=1}^n x_i = 1
\end{align}

Alternativ k\"onnten wir u\"uber die Erwartete Rendite maximieren \footnote{\label{foot:1} Vgl.: Optimization Methodes in Finance, S. 138-140}. Im folgenden Unterkapitel wird die Theorie der Quadratischen Programme genauer erl\"autert, im Anschluss daran behandeln wir die Arbitrage, also Gewinn ohne Risiko.


\section{QP Model}


\section{Arbitrage}





\chapter{Portfolio Optimierung}

\section{Mean Variance Ansatz}

\section{Implementierung}

\section{Performance Test}





\chapter{Erweiterung des Mean Variance Ansatz}

\section{Optionen}

\section{Indizes}

\section{Volatility}

\section{Performance Vergleich}





\chapter{Abschluss und Ausblick}





% Anhang

\chapter*{Anhang} 

\section*{Verwendete Literatur}

\begin{itemize} 
\item G. Cornuejols u. R. T\"ut\"unc\"u: Optimization Methods in Finance. Cambridge University Press, 2007.
\item D. Easley u J. Kleinberg: Networks, Crowds, and Markets. Reasoning about a Highly Connected World. Cambridge University Press, 2010.
\item M. Balinski u. R. Laraki: Majority Judgement - Measuring, Ranking, and Electing. MIT Press, 2010. 
\end{itemize}


\section*{Verwendete Software-Dokumentationen}

\begin{itemize} 
\item Package ‘quantmod’: https://cran.r-project.org/web/packages/ \\ quantmod/quantmod.pdf
\item Package ‘fPortfolio’: https://cran.r-project.org/web/packages/ \\ fPortfolio/fPortfolio.pdf
\item Package ‘PerformanceAnalytics’: https://cran.r-project.org/web/ \\ packages/PerformanceAnalytics/PerformanceAnalytics.pdf
\end{itemize}






\end{document}