LaTeX Forum

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\begin{document}
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\section{Einleitung}

\subsection{Aufgabenstellung}

\subsubsection{Versuchsteil A: Diode, Bipolartransistor und Feldeffekt-Transistor}

Im Teil A des Versuches sollen die Kennlinien von Diode, Bipolartransistor und Feldeffekt-Transistor\footnote{kurz: FET} aufgenommen werden. Anhand dieser Kennlinien kann der Diodentyp und der FET-Typ bestimmt werden. Anhand des Verlaufs der Kennlinien lassen sich weitere Kenngrößen, wie der Emissionsfaktor (Diode), der Sättigungsstrom (Diode) oder auch die Vierpolparameter (Bipolartransistor) bestimmen. 
\nocite{anleitung2014}


\subsubsection{Versuchsteil B: Monokristalline und amorphe Solarzelle}

Im Teil B sollen Charakteristika einer monokristallinen und einer amorphen Solarzelle aufgenommen werden. Diese Kennlinien sind jeweils im Dunklen und unter Bestrahlung mit einer $100$ Watt-Lampe gemessen worden. Weitere, zu bestimmende, Kenngrößen sind auch hier der Emissionsfaktor und der Sättigungsstrom.  Außerdem wird der Kurzschlussstrom pro Fläche, die Leerlaufspannung pro Zelle, sowie Füllfaktor und relative Effizienz ermittelt. 



\subsection{Durchführung}

\subsubsection{Versuchsteil A: Diode, Bipolartransistor und Feldeffekt-Transistor}

Um die Dioden- und die Transistoren-Kennlinien zu bestimmen, mussten die jeweiligen Bauteile auf einem Steckbrett angebracht werden. Die Strom- und Spannungswerte konnten über ein Computer-Messprogramm ausgelesen werden. Die Diode wurde über eine Spannungsquelle beschaltet, der Bipolartransistor über eine Kombination aus Strom- und Spannungsquelle. Der FET war über zwei Spannungsquellen beschaltet. 
Es musste bei allen drei Bauteilen passende Parameter durch Ausprobieren für das Messprogramm gefunden werden. Dabei war zu beachten, dass der Schaltkreis nicht zum Schwingen gebracht wurde.



\subsubsection{Versuchsteil B: Monokristalline und amorphe Solarzelle}

Die Durchführung für den Teil B ist ähnlich dem zum Teil A. Die in einem Hohlzylinder montierten Solarzellen konnten auf eine Röhre aufgesteckt werden. Dieser Röhre gegenüber befindet sich eine Lampe mit $100$ Watt in einem bestimmten Abstand. Zur Ermittlung der Dunkel-Kennlinie wurden von rechts und von links die beiden Solarzellen auf die Röhre gesteckt. Hierdurch ist hinreichende Dunkelheit gewährleistet. Die Solarzellen wurden nacheinander mit Emissionsfaktor der Spannungsquelle verbunden und ausgemessen. Für die Messung unter Bestrahlung wurde eine  Solarzelle demontiert und die andere wieder analog vermessen. Im Anschluss wurden die Solarzellen gegen einander getauscht. 



\newpage




\section{Auswertung}

\subsection{IU-Kennlinie an Halbleitern}

\subsubsection{Diode}\label{kap:diode}

Die Diodengleichung nach Shockley lautet:

\begin{align}
I_{Diode} \, := \, I (U) \, = \, I_S \cdot ( e^{\frac{e \cdot U}{n \cdot k_B T}} \, - \, 1 )
\label{gl:dioden-gleichung-n-faktor}
\end{align}

Mit folgender Notation und typischen Werten\cite{wikidiode}:

\begin{itemize}
  \item I (U) : Strom durch die Diode
  \item $I_S$ : Sättigungsstrom, der bei negativen Spannungen und Sperrpolung fließt.\\
          Als Ursache sind diffundierende Elektronen zu identifizieren. \\ 
          Typische Werte: $10^{-12} \, \, A \leq I_S \leq 10^{-6} \, \, A$
  \item U : Spannung durch die Diode
  \item e : Elementarladung mit $e = 1,602176565 \cdot 10^{19} \, \, C$ (CODATA 2010)
  \item $k_B$ : Boltzmann-Konstante mit $1,3806488 \cdot 10^{-23} \, \, \frac{Ws}{K}$                                  (CODATA 2010)
  \item T :  absolute Temperatur
  \item n : Emissions- bzw. Idealitätsfaktor \\
          Typische Werte ($1$ entspricht idealer Diode): $1 \leq n \leq 2$
  \item $\frac{k_B T}{e}$ : Temperaturspannung $U_T$, bei Raumtemperatur gilt $U_T                 \approx \frac{1}{40} \, \, V$
\end{itemize}



Durch Auftragen der Messwerte mit Spannung $U$ an der x-Achse und der Stromstärke $I$ an der y-Achse, ergibt sich der folgende Verlauf:


\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=17cm]{Bilder/Diodenkennlinie}
\caption[Diodenkennlinie mit linearem und exponentiellen Fit]{Diodenkennlinie: linearer Fit (Durchbruchspannung) und Shockley-Fit (\ref{gl:dioden-gleichung-n-faktor})}
\label{pic:diodenkennlinie}
\end{figure}



Dem exponentiellen Fit liegt folgende Funktion zu Grunde:

\begin{align}
y(x) \, = \, A \cdot ( e^{k \cdot x}  \, - \,  1 )
\label{gl:exp-fit-funktion}
\end{align}




Durch einen Vergleich der Gleichung (\ref{gl:exp-fit-funktion}) mit (\ref{gl:dioden-gleichung-n-faktor}) ergeben sich die gesuchten Zusammenhänge für Sättigungsstrom $I_S$ und Emissionsfaktor $n$:

\begin{align}
A \, &= \, I_S \label{gl:sperrstrom-fit-A-I} \\
k \, &= \, \frac{e}{n \cdot k_B T} \label{gl:k-faktor-fit}
\end{align}
 
 
\newpage 
 
 
 
Durch Umstellen von Gleichung (\ref{gl:k-faktor-fit}) nach $n$ ergibt sich der Emissionsfaktor zu:

\begin{align}
n \, = \, \frac{e}{k \cdot k_B T}
\label{gl:ideal-faktor-n-fit}
\end{align}



Mit den Werten der Fit-Paramter (Abbildung \ref{pic:diodenkennlinie}) ergibt sich für den Sättigungsstrom\footnote{Standardfehler gerundet, da Fehler mit mehr Nachkommastellen als der Wert selbst sinnlos ist}:

\begin{align}
I_S \, = \, (2,83  \, \pm  \, 0,82) \cdot 10^{-6} \, \, A 
\label{gl:ergebnis-sperrstrom-IS}
\end{align}


Wird für die absolute Temperatur $T \, = \, 293,15 \, \, K$ (also $20 \, \, °C$) angenommen und der Wert für $k \, = \, 12,05127 \, \, V^{-1}$ aus Abbildung \ref{pic:diodenkennlinie} abgelesen, so folgt:

\begin{align}
n \, = \, \frac{e}{k_B T} \cdot \frac{1}{k} \, = \, \frac{1,602176565 \cdot 10^{-19}C}{1,3806488 \cdot 10^{-23} \frac{W s}{K} \cdot 293,15 K} \cdot \frac{1}{12,05127} \, = \, 3,28477
\label{gl:ergebnis-idealitaetsfaktor-n}
\end{align}

Der Emissionsfaktor liegt mit $n \, = \, 3,28477$ leicht über dem Literaturwert von $1$ bis $2$ für eine reale Diode. 


Diese Abweichung war jedoch nach dem Fit zu erwarten, da der $R^2$-Faktor für die Diodenkennlinie (exponentieller Fit) nicht deutlich in der Nähe von $1$ liegt. Ein $R^2$-Faktor von $1$ entspräche einer 100 \% Beschreibung. Der $R^2$-Faktor beträgt $R^2 \, = \, 0,93939$ und ist damit noch einigermaßen akzeptabel. 



\hspace{1cm}




Um die Durchbruchspannung $U_{Durch}$ zu bestimmen wird jetzt der lineare Fit mit der Grundgleichung $y \, = \, a + b \cdot x$ betrachtet. Durch den Fit folgt:

\begin{align}
a \, &= \, 840,77814 \, \, mA \\
b \, &= \, 241,24883 \, \, \frac{mA}{V}
\end{align}


\newpage



Es ergibt sich also folgende lineare Funktion:

\begin{align}
y \, = \, 840,77814 \, \, mA  \, + \,  241,24883 \, \, \frac{mA}{V} \cdot x
\label{gl:linearer-fit-diode}
\end{align}

Abbildung \ref{pic:diodenkennlinie} kann ein $R^2$-Faktor von $0,99116$ entnommen werden. Die Fit-Gerade stimmt somit sehr gut mit den Messwerten überein. 


Um die Durchbruchspannung bestimmen zu können muss von Gleichung (\ref{gl:linearer-fit-diode}) die Nullstelle (Bedingung: $y \, = \, 0$) berechnet werden. Die Nullstelle entspricht dem Schnittpunkt mit der Spannungschse:

\begin{align}
0 \, = \, a \, + \, b \cdot x \, \, \, \, \leftrightarrow \, \, \, \, x \, = \, \frac{- a}{b}
\label{gl:nullstelle-durchbruchspannung-diode}
\end{align}


Einsetzten der Werte für $a$ und $b$ ergibt schließlich:

\begin{align}
U_{Durch} \, = \, \frac{- 840,77814 \, \, mA}{241,24883 \, \, \frac{mA}{V}} \, = \, - 3,92431 \, \, V
\end{align}



\hspace{0,5cm}



In Durchlassrichtung fließt bis zu einer Schwellenspannung (Bereich bis ca. $0,5 \, \, V$) kein Strom. Sobald das elektrische Feld der Raumladungszone überwunden ist, steigt der Strom schnell an. Bei $100 \, \, mA$ ist ein waagerechter linearer Verlauf zu erkennen, der technisch bedingt ist. Die Messaparatur ist ab $100 \, \, mA$ abgeregelt.



\hspace{0,5cm}



In Sperrrichtung fließt bis zu einer Schwellenspannung (Bereich $0 \, \, V$ bis ca. $-2,5 \, \, V$) kein Strom. Sobald das elektrische Feld der Raumladungszone überwunden ist, steigt der Strom an. 



\hspace{0,5cm}



Für die Durchbruchspannung ergibt sich ein Wert von ca. $U_{Durch} \, \approx \, - 3,9 \, \, V$. Dieser Wert liegt oberhalb von $- 5 \, \, V$. Außerdem ist der Anstieg in Sperrrichtung relativ langsam. 

Daher handelt es sich bei der verwendeten Diode um eine \textbf{Zener-Diode}.





\subsection{Monokristalline Solarzelle}\label{kap:mono-solarzelle}

\subsubsection{Dunkel-Kennlinie}\label{kap:mono-dunkel}


\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=18cm]{Bilder/mono-dunkel}
\caption[Dunkel-Kennlinie der monokristallinen Solarzelle]{Dunkel-Kennlinie der monokristallinen Solarzelle mit Dioden-Fit (rot)}
\label{pic:mono-solar-dunkel}
\end{figure}

Abbildung \ref{pic:mono-solar-dunkel} zeigt den Verlauf des exponentiellen Fits der Diodengleichung (\ref{gl:dioden-gleichung-n-faktor}) an die gemessene Dunkel-Kennlinie. Die Approximation des Fits passt sehr gut mit den gemessenen Werten überein. Der $R^2$-Faktor beträgt $0,99401$ und ist damit deutlich in der Nähe von 1. 




\newpage




\subsubsection{Kenngrößen: Sättigungsstrom und Emissionsfaktor}\label{kap:mono-kenngroeßen-Is-und-n}

Auch dem Fit der Dunkel-Kennlinie liegt Gleichung (\ref{gl:exp-fit-funktion}) zugrunde:

\begin{align}
y(x) \, = \, A \cdot ( e^{k \cdot x}  \, - \,  1 )
\end{align}

Durch Ablesen der Fit-Parameter $A \, = \, I_S$ und $k \, = \, \frac{e}{n \cdot k_B T}$ aus Abbildung \ref{pic:mono-solar-dunkel} folgt:

\begin{align}
I_S \, = \, (2,36  \, \pm  \, 0,23) \cdot 10^{-6} \, \, A 
\label{gl:ergebnis-IS-mono}
\end{align}


\begin{align}
n \, = \, \frac{e}{k_B T} \cdot \frac{1}{k} \, = \, \frac{1,602176565 \cdot 10^{-19}C}{1,3806488 \cdot 10^{-23} \frac{W s}{K} \cdot 293,15 K} \cdot \frac{1}{18,47335} \, = \, 2,14285
\label{gl:ergebnis-n-mono}
\end{align}


Im letzten Schritt wurde für die absolute Temperatur $T \, = \, 293,15 \, \, K$ (also $20 \, \, °C$) angenommen.


Der Vergleich des Sättigungsstroms $I_S$ einer monokristallinen Solarzelle mit der Diode zeigt, dass beide knapp über $2 \cdot 10^{-6} \, \, A$ liegen und somit im typischen Wertebereich. 
Für den Emissionsfaktor $n$ zeigt sich ein anderes Bild. Eine reale Diode hat einen $n$-Wert zwischen $1$ und $2$. Die monokristallinie Solarzelle hat einen $n$-Wert von ca. $2,14$ und ist damit recht nahe einer realen Diode. Der Unterschied lässt sich mit parasitären Widerständen in der Solarzelle erklären. 

Die im Versuch verwendete Diode hat einen $n$-Wert von über $n \, = \, 3$. Da für die Dunkel-Kennlinie das Mess-Setup fast identisch ist, war die Diode wahrscheinlich leicht beschädigt. 



\newpage



\subsubsection{Hell-Kennlinie}\label{kap:mono-hell}


\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=18cm]{Bilder/mono-hell}
\caption[Hell-Kennlinie der monokristallinen Solarzelle]{Hell-Kennlinie der monokristallinen Solarzelle mit Dioden-Fit (rot)}
\label{pic:mono-solar-hell}
\end{figure}

Mit dem Zusammenhang für die elektrische Leistung $P \, = \, U \cdot I$ und den in Abbildung \ref{pic:mono-solar-hell} graphisch dargestellten Strom-Spannungs-Werten kann ein Leistungs-Spannungs-Graph erstellt werden: 




\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=18cm]{Bilder/mono-Leistung}
\caption[Leistung der monokristallinen Solarzelle im PU-Diagramm]{Leistung der monokristallinen Solarzelle im PU-Diagramm}
\label{pic:mono-solar-leistung}
\end{figure}


Abbildung \ref{pic:mono-solar-leistung} zeigt die Leistung der monokristallinen Solarzelle in Abhängigkeit von der Spannung. Das bereits erwähnte Minimum ist deutlich zu erkennen. 



\newpage



\subsubsection{Kenngrößen: Kurzschlussstrom, Leerlaufspannung, Füllfaktor und relative Effizienz}\label{kap:mono-Ik-Uleer-F-rel-Effizienz}

Die Fläche $A_S$ der verwendeten Solarzelle wurde wurde zu $5,0 \, \, cm \cdot 5,0 \, \, cm \, = \, 25 \, \, cm^2$ bestimmt. 


\hspace{1cm}


Die verschiedenen Kenngrößen ergeben sich zu:


\hspace{0,5cm}



(i) \, \, \textbf{Kurzschlussstrom $I_K$:} 

Mit Abbildung \ref{pic:mono-solar-hell} kann der Kurzschlussstrom $I_K$ direkt abgelesen werden. Für den Kurzschlussstrom pro Fläche $I_{KA}$ folgt daher.


\begin{align}
I_{KA} \, = \, \frac{I_K}{A_S} \, = \, \frac{-42 \, \, mA}{25 \, \, cm^2} \, = \, - 1,68 \, \, \frac{mA}{cm^2}
\label{gl:kurzschlusstrom-pro-flaeche-mono}
\end{align}

  
  
\hspace{0,5cm}
  
  
  
(ii) \, \, \textbf{Leerlaufspannung $U_{Leer}$:} 
  
Abbildung \ref{gl:dioden-gleichung-n-faktor} kann auch die Leerlaufspannung $U_{Leer}$ entnommen werden:

\begin{align}
U_{Leer} \, = \, 0,515 \, \, V
\label{gl:leerlaufspannung-mono}
\end{align}


Da die monokristalline Solarzelle nur aus einer Zelle besteht, ist die \textbf{Leerlaufspannung pro Zelle} gleich der Leerlaufspannung in (\ref{gl:leerlaufspannung-mono}).



\hspace{0,5cm}



(iii) \, \, \textbf{Füllfaktor $F$:}

Das Minimum des PU-Diagrammes (Abbildung \ref{pic:mono-solar-leistung}) kann abgelesen werden:

\begin{align}
U_m \, = \, 0,4 \, \, V \label{gl:maximale-leistung-spannung-mono} \\
P_{max} \, = \, -15 \, \, mW
\label{gl:maximale-leistung-mono}
\end{align}


Mit dem Kurzschlussstrom in Formel (\ref{gl:kurzschlusstrom-pro-flaeche-mono}) und der Leerlaufspannung aus (\ref{gl:leerlaufspannung-mono}) und der maximalen Leistung in (\ref{gl:maximale-leistung-mono}) ergibt sich für den Füllfaktor:


\begin{align}
F \, = \, \frac{P_{max}}{I_K \cdot U_{Leer}} \, = \, \frac{-15 \, \, mW}{-42 \, \, mA \cdot 0,515 \, \, V} \, = \, 0,693
\end{align}


\hspace{0,5cm}



(iv) \, \, \textbf{relative Effizienz $\varepsilon$:}

Der Abstand zwischen Solarzelle und Lampe wurde zu $L \, = \, 42,5 \, \, cm$ bestimmt. Die Leistung der Lampe beträgt $P_0 \, = \, 100 \, \, W \, = \, 100 \cdot 10^{3} \, \,
mW$. 

Einsetzen von $P_{max}$ aus (iii) ergibt schließlich:


\begin{align}
\varepsilon \, = \, \left| \frac{P_{max}}{P_{ein}} \right| \, = \, \left| \frac{2 \pi L^2}{A_S} \cdot \frac{P_{max}}{P_0} \right| \, = \, \left| \frac{2 \pi \cdot (42,5 \, \, cm)^2}{25 \, \, cm^2} \cdot \frac{-15 \, \, mW}{100 \cdot 10^{3} \, \,
mW} \right| \, \approx \, 0,0681
\end{align}


Die monokristalline Solarzelle hat demnach eine relative Effizienz von $6,81 \, \, \%$




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% # Ende des Dokumentes #
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\end{document}