natbib ist nicht wirklich für Fußnotenzitate gedacht. Wenn Dir nur die Klammern nicht gefallen, nimm \citealp (oder \citealt) statt \citep.
\documentclass[ngerman]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{babel}
\usepackage{natbib}
\begin{filecontents}{\jobname.bib}
@book{elk,
author = {Anne Elk},
title = {A Theory on Brontosauruses},
year = {1972},
publisher = {Monthy \& Co.},
address = {London},
}
\end{filecontents}
\begin{document}
Lorem\footnote{\citealp[S.~20]{elk}}
Lorem\footnote{\citealt[S.~20]{elk}}
\bibliographystyle{plainnat}
\bibliography{\jobname}
\end{document}
Das kann man dann auch direkt in einen eigenen Befehl bauen
\documentclass[ngerman]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{babel}
\usepackage{natbib}
\newcommand*{\footcitecite}{\citealp}
\NewDocumentCommand{\footcite}{oom}{%
\footnote{%
\IfNoValueTF{#1}
{\footcitecite{#3}}
{\IfNoValueTF{#2}
{\footcitecite[#1]{#3}}
{\footcitecite[#1][#2]{#3}}}%
.%
}%
}
\newcommand*{\autocite}{\footcite}
\begin{filecontents}{\jobname.bib}
@book{elk,
author = {Anne Elk},
title = {A Theory on Brontosauruses},
year = {1972},
publisher = {Monthy \& Co.},
address = {London},
}
\end{filecontents}
\begin{document}
Lorem\autocite[S.~20]{elk}
ipsumd\autocite[Vgl.][S.~21]{elk}
dolor\autocite{elk}
sit\autocite[Vgl.][]{elk}
\bibliographystyle{plainnat}
\bibliography{\jobname}
\end{document}
Wobei man prinzipiell auch \citep und \citet mit \setcitestyle umbiegen könnte
\documentclass[ngerman]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{babel}
\usepackage{natbib}
\setcitestyle{open={},close={}}
\begin{filecontents}{\jobname.bib}
@book{elk,
author = {Anne Elk},
title = {A Theory on Brontosauruses},
year = {1972},
publisher = {Monthy \& Co.},
address = {London},
}
\end{filecontents}
\begin{document}
Lorem\footnote{\citep[S.~20]{elk}}
Lorem\footnote{\citet[S.~20]{elk}}
\bibliographystyle{plainnat}
\bibliography{\jobname}
\end{document}
Mit biblatex werden Fußnotenzitate etwas besser unterstützt.
\documentclass[ngerman]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{babel}
\usepackage{csquotes}
\usepackage[backend=biber, style=authoryear, autocite=footnote]{biblatex}
\begin{filecontents}{\jobname.bib}
@book{elk,
author = {Anne Elk},
title = {A Theory on Brontosauruses},
year = {1972},
publisher = {Monthy \& Co.},
location = {London},
}
\end{filecontents}
\addbibresource{\jobname.bib}
\addbibresource{biblatex-examples.bib}
\begin{document}
Lorem \autocite[10]{elk}
ipsum \autocite[Vgl.][380]{sigfridsson}
\printbibliography
\end{document}
Wenn Du gerade erst mit LaTeX anfängst, würde ich mir ruhig auch biblatex ansehen. Das ist in einigen Fällen die bessere Wahl. Für deutsche Texte ist der Vorteil, dass biblatex Deutsch kann und mit Biber auch ohne Probleme Umlaute sortieren kann, unabhängig von der Sprache ist biblatex oft einfacher anzupassen als BibTeX (auch mit natbib). Der Nachteil von biblatex ist, dass einige Verlage nur mit BibTeX-Vorlagen arbeiten (gerade für Uni-Arbeiten ist das aber oftmals irrelevant).
Ich persönlich finde, dass Autor-Jahr-Zitate in Fußnoten wenig Vorteile gegenüber Autor-Jahr-Zitaten in Klammern direkt im Text haben: Das Auge muss sich viel mehr bewegen, um die Zitate nachverfolgen zu können, über Autor-Jahr-Zitate in Klammern kann man mit etwas Übung einfach drüberlesen.