Dein Problem ist u.a., dass es in dem Code gar kein Abkürzungs- und Symbolverzeichnis gibt. Da kein Inhalt auf den Seiten ausgegeben wird, bleiben weitere \newpage Befehle ohne Wirkung und der Eintrag der nicht vorhandenen Verzeichnisse erfolgt erst für die Seite, auf der tatsächlich wieder etwas steht und die ist schon arabisch nummeriert.
Auch die manuelle Eintragung von Abbildungs- und Tabellenverzeichnis ist falsch, was aber erst auffällt, wenn diese länger als eine Seite sind: es wird jeweils die letzte Seite dieser Verzeichnisse ins Inhaltsverzeichnis eingetragen. Lass die Befehle einfach weg und nutze statt dessen die Option listof=totoc.
Ich weiß natürlich nicht, wie Du Abkürzungs- und Symbolverzeichnis erzeugst. Im folgenden Beispiel habe ich deshalb einfach nur die Befehle für nicht nummerierte Abschnitte mit Eintragung ins Inhaltsverzeichnis und bei Bedarf die Kopfzeile gewählt.
Achte außerdem auf Warnungen bezüglich veralteter Optionen.
\documentclass[
%a4paper,% default
12pt,
DIV=calc,
BCOR=5mm,% alte Option durch aktuelle ersetzt
listof=toc,% Verzeichnisse ins Inhaltsverzeichnis eintragen lassen
titlepage% \maketitle erzeugt Titelseite
]{scrartcl}
\usepackage{setspace}
\onehalfspacing
\typearea[current]{calc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[leqno]{amsmath}
\usepackage[babel,german=guillemets]{csquotes}
\usepackage[maxnames=2,style=authoryear-icomp]{biblatex}
\addbibresource{quellen.bib}
\addtokomafont{subject}{\huge}% Ändern der Schrifteinstellung für subject
\begin{document}
\title{Titel}
\author{Autor}
\subject{Bachelorarbeit}% <- Schriftänderung über \addtokomafont vornehmen
\maketitle
\clearpage
\pagenumbering{Roman}
\tableofcontents
\newpage
\listoftables
\newpage
\listoffigures
% Abkürzungsverzeichnis soll im Inhaltsverzeichnis auftauchen
\newpage
\addsec{Abkürzungsverzeichnis}
% Symbolverzeichnis soll im Inhaltsverzeichnis auftauchen
\newpage
\addsec{Symbolverzeichnis}
\clearpage
\pagestyle{plain}
\pagenumbering{arabic}
\section{Einleitung}%Hier startet die Einleitung
\end{document}
Wenn Du in Deinem Dokument tatsächlich vor jeder Abschnittsüberschrift ein \newpage oder \clearpage stehen hast, dann möchtest Du vielleicht lieber scrreprt mit Kapiteln verwenden?
\documentclass[
%a4paper,% default
12pt,
DIV=calc,
BCOR=5mm,% alte Option durch aktuelle ersetzt
listof=toc,% Verzeichnisse ins Inhaltsverzeichnis eintragen lassen
titlepage% \maketitle erzeugt Titelseite
]{scrreprt}
\usepackage{setspace}
\onehalfspacing
\typearea[current]{calc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[leqno]{amsmath}
\usepackage[babel,german=guillemets]{csquotes}
\usepackage[maxnames=2,style=authoryear-icomp]{biblatex}
\addbibresource{quellen.bib}
\addtokomafont{subject}{\huge}% Ändern der Schrifteinstellung für subject
\begin{document}
\title{Titel}
\author{Autor}
\subject{Bachelorarbeit}% <- Schriftänderung über \addtokomafont vornehmen
\maketitle
\clearpage
\pagenumbering{Roman}
\tableofcontents
\listoftables
\listoffigures
% Abkürzungsverzeichnis soll im Inhaltsverzeichnis auftauchen
\addchap{Abkürzungsverzeichnis}
% Symbolverzeichnis soll im Inhaltsverzeichnis auftauchen
\addchap{Symbolverzeichnis}
\clearpage
\pagestyle{plain}
\pagenumbering{arabic}
\chapter{Einleitung}%Hier startet die Einleitung
\end{document}
