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\begin{document} %und 
\end{document} 

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{repetition}{Wiederholung}
\newtheorem*{notation}{Notation}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{Zu zeigen}{Zu zeigen}
\newtheorem{Bemerkung}{Bemerkung}

\title{Das sph\"arische Geb\"aude im Rand}

\subtitle{12. Vortrag}

\author{C\'edric Dujardin}

\date{Geb\"aude Seminar, 2018}

\subject{Geometrie}

\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}{Strahl}{Definition}
    Sei $X$ die geometrische realisation eines euklidischen Geb\"aude $\Delta$ \pause
    \begin{definition}[Strahl]
        Ein \emph{Strahl} in $X$ ist eine Teilmenge $\mathfrak{r}$ die Isometrisch zu der Halbgerade $[0, \infty)$ ist.
    \end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{figure}
        \centering
        \begin{overprint}
        \only<1,2>{\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
                \begin{scope}
                \clip(-7,-2) rectangle (7,6);
                    \draw [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                    \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/-1});                    
                    
                    \onslide<2>{
                        \draw[color=orange] [line width=2pt,domain=-3:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                        \draw[color=orange] [line width=2pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                    }
                \end{scope}
                \onslide<2>\draw[color=orange] (-2,1) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{r}$};
                \draw (0,3) node[anchor=north west] {$X =|\Delta|$};
            \end{tikzpicture}
        }}
        \only<3,4>{\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}
                \clip(-7,-4) rectangle (7,4);
                \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-0-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw [line width=2pt, domain=-7:7] plot(\x,{(-5-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-10-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-15-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(5-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(10-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(15-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-0--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw [line width=2pt, domain=-7:7] plot(\x,{(-5--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-10--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-15--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(5--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(10--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(15--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,0);
                \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,2.5);
                \draw [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,-2.5);
                
                \onslide<4>{
                \draw[color=orange] [line width=2pt, domain=-7:0] plot(\x,-1-\x);
                \draw[color=orange] (-2,0.5) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{r}$};
                }
                
            \end{tikzpicture}
        }}
        \end{overprint}
        \caption{Beispiel von Strahlen}
        \label{fig:beispiel_strahl}
    \end{figure}
\end{frame}

%\begin{frame}
%    \begin{definition}
%        Zwei Strahlen $\mathfrak{r}$ und $\mathfrak{s}$ hei\ss en \emph{parallel} zueinander falls es ein Zahl $M$ existiert so dass f\"ur alle $y$ in $\mathfrak{r}$ es ein $z$ in $\mathfrak{s}$ existiert so dass $d(y,z)<M$.
%    \end{definition}
%\end{frame}


\begin{frame}
    \begin{figure}
        \centering
        \begin{overprint}
        \only<1-4>{\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
                \begin{scope}
                \clip(-7,-2) rectangle (7,6);
                    \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:-3] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                    \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0-0*\x)/-1});
                    \draw[color=orange] [line width=2pt,domain=-3:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                    \draw[color=orange] [line width=2pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                    
                    \onslide<2-4>{
                        \draw[color=blue] [line width=2pt,domain=-4:-0.15] plot(\x,{(0.1--1*\x)/-1});
                        \draw[color=blue] [line width=2pt,domain=-7:-0.15] plot(\x,{(0.05-0*\x)/1});
                        \draw[color=blue] (-4,3) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{s}_{1}$};
                    }
                    
                    \onslide<3,4>{
                        \draw[color=olive] [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0.1--1*\x)/-1});
                        \draw[color=olive] [line width=2pt,domain=0:3] plot(\x,{(0.1-0*\x)/1});
                        \draw[color=olive] (-2,3) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{s}_{2}$};
                    }
                    
                    \onslide<4>{
                        \draw[color=red] [line width=2pt,domain=-4:7] plot(\x,-0.075);
                        \draw[color=red] (-2,-0.5) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{s}_{3}$};
                    }
                    
                    
                \end{scope}
                
                \draw[color=orange] (-2,1) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{r}$};
                \draw (0,3) node[anchor=north west] {$X =|\Delta|$};
            \end{tikzpicture}
        }}
        \only<5->{\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}
                \clip(-7,-4) rectangle (7,4);
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-0-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt, domain=-7:7] plot(\x,{(-5-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-10-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-15-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(5-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(10-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(15-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-0--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt, domain=-7:7] plot(\x,{(-5--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-10--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-15--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(5--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(10--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(15--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,0);
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,2.5);
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,-2.5);
                \draw[color=orange] [line width=2pt, domain=-7:0] plot(\x,-1-\x);
                \draw[color=orange] (-2,0.5) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{r}$};
                
                \onslide<6->{
                    \draw[color=blue] [line width=2pt,domain=2:7] plot(\x,3);
                    \draw[color=blue] (3,3.5) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{s}_{1}$};
                }
                
                \onslide<7,8>{
                    \draw[color=olive] [line width=2pt,domain=2:7] plot(\x,3-\x);
                    \draw[color=olive] (3,1.5) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{s}_{2}$};
                }
                
                \onslide<8>{
                    \draw[color=red] [line width=2pt,domain=-7:-2] plot(\x,-4-\x);
                    \draw[color=red] (-4,-1) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{s}_{3}$};
                }
            \end{tikzpicture}
        }}
        \end{overprint}
        \caption{Caption}
        \label{fig:beispiel_parallel}
    \end{figure}
\end{frame}

%\begin{frame}
%    \begin{Bemerkung}
%        Die parallel-Relation ist ein \"Aquivalenzrelation.\\ 
%        \emph{ \pause reflexiv, \pause symmetrisch, \pause transitiv}
%    \end{Bemerkung}

%    \begin{Definition}[Ideal Punkten]
%        Eine \"Aquivalenzklasse von Strahlen hei\ss t ein \emph{idealer Punkt} von $X$. \\
%        \pause
%        Ein Strahl der $x$ als Ursprung und $e$ als idealer Punkt hat wird auch $[x,e)$ geschrieben.\\ 
%        \pause
%        Die Menge aller idealer Punkten schreiben wir $X_{\infty}$.  
%    \end{Definition}
%\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{figure}
        \centering
        \begin{overprint}
        \only<1,2>{\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
                \begin{scope}
                \clip(-7,-2) rectangle (7,6);
                    \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                    \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/-1});                    
                    \draw[color=orange] [line width=2pt,domain=-3:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                    \draw[color=orange] [line width=2pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                    \draw[color=blue] [line width=2pt,domain=-4:-0.15] plot(\x,{(0.1--1*\x)/-1});
                    \draw[color=blue] [line width=2pt,domain=-7:-0.15] plot(\x,{(0.05-0*\x)/1});
                    \draw[color=blue] (-4,3) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{s}_{1}$};
                    
                    \draw[color=olive] [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0.1--1*\x)/-1});
                    \draw[color=olive] [line width=2pt,domain=0:3] plot(\x,{(0.1-0*\x)/1});
                    \draw[color=olive] (-2,3) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{s}_{2}$};
                    
                    \draw[color=red] [line width=2pt,domain=-4:7] plot(\x,-0.075);
                    \draw[color=red] (-2,-0.5) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{s}_{3}$};
                    
                \end{scope}
                \draw[color=orange] (-2,1) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{r}$};
                \draw (0,3) node[anchor=north west] {$X =|\Delta|$};
                
                \onslide<2>{
                    \fill[violet] (-7,0) circle (0.1);
                    \fill[violet] (7,0) circle (0.1);
                    \fill[violet] (-6,6) circle (0.1);
                }
            \end{tikzpicture}
        }}
        \only<3>{\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}
                \begin{scope}
                \clip(-7,-4) rectangle (7,4);
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-0-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt, domain=-7:7] plot(\x,{(-5-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-10-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-15-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(5-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(10-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(15-tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-0--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt, domain=-7:7] plot(\x,{(-5--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-10--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(-15--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(5--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(10--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,{(15--tan(pi/3 r)*\x)/1});
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,0);
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,2.5);
                \draw[color=gray] [line width=2pt,domain=-7:7] plot(\x,-2.5);
                
                \draw[color=orange] [line width=2pt, domain=-7:0] plot(\x,-1-\x);
                \draw[color=orange] (-2,0.5) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{r}$};
                
                
                \draw[color=blue] [line width=2pt,domain=2:7] plot(\x,3);
                \draw[color=blue] (3,3.5) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{s}_{1}$};
                
                
                \draw[color=olive] [line width=2pt,domain=2:7] plot(\x,3-\x);
                \draw[color=olive] (3,1.5) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{s}_{2}$};
                
                
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                \draw[color=red] (-4,-1) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{s}_{3}$};
                \end{scope}
            \end{tikzpicture}
            }}
        \only<4>{\resizebox{!}{0.8\textheight}{
            \begin{tikzpicture}
                \begin{scope}
                \clip(0,0) circle (30);
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                \draw[color=gray] [line width=1pt,domain=-30:30] plot(\x,12.5);
                \draw[color=gray] [line width=1pt,domain=-30:30] plot(\x,15);
                \draw[color=gray] [line width=1pt,domain=-30:30] plot(\x,17.5);
                \draw[color=gray] [line width=1pt,domain=-30:30] plot(\x,20);
                \draw[color=gray] [line width=1pt,domain=-30:30] plot(\x,22.5);
                \draw[color=gray] [line width=1pt,domain=-30:30] plot(\x,25);
                \draw[color=gray] [line width=1pt,domain=-30:30] plot(\x,27.5);
                \draw[color=gray] [line width=1pt,domain=-30:30] plot(\x,30);
                
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                \draw[color=gray] [line width=1pt,domain=-30:30] plot(\x,-12.5);
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                \draw[color=gray] [line width=1pt,domain=-30:30] plot(\x,-27.5);
                \draw[color=gray] [line width=1pt,domain=-30:30] plot(\x,-30);
                
                
                \draw[color=orange] [line width=10pt, domain=-30:0] plot(\x,-1-\x);
                \draw[color=orange, font=\fontsize{180}{180}\selectfont] (-5,8) node[anchor=north west] {$\mathfrak{r}$};
                
                
                \draw[color=blue] [line width=10pt,domain=2:30] plot(\x,3);
                \draw[color=blue, font=\fontsize{180}{180}\selectfont] (3,8) node[anchor=north west] {$\mathfrak{s}_{1}$};
                
                
                \draw[color=olive] [line width=10pt,domain=2:30] plot(\x,3-\x);
                \draw[color=olive, font=\fontsize{180}{180}\selectfont] (3,-5) node[anchor=north west] {$\mathfrak{s}_{2}$};
                
                
                \draw[color=red] [line width=10pt,domain=-30:-2] plot(\x,-4-\x);
                \draw[color=red, font=\fontsize{180}{180}\selectfont] (-6,-1) node[anchor=north west] {$\mathfrak{s}_{3}$};
                \end{scope}                
                
                \draw[color=violet] (0,0) circle (35);
                \fill[violet] (35,0) circle (1);
                \draw[color=violet, font=\fontsize{150}{150}\selectfont] (36, 0) node[anchor=north west] {$e_{1}$};
                
                
                \fill[violet] (-25, 25) circle (1);
                \draw[color=violet, font=\fontsize{150}{150}\selectfont] (26,-26) node[anchor=north west] {$e_{2}$};
                
                
                \fill[violet] (25, -25) circle (1); 
                \draw[color=violet, font=\fontsize{150}{150}\selectfont] (-26,26) node[anchor=south east] {$e_{3}$};
                
            \end{tikzpicture}
        }}
        \end{overprint}
        \caption{Ideal Punkt}
        \label{fig:beispiel_Ideal_Punkt}
    \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{repetition}
        Sei $\mathcal{H}$ die Menge von Hyperebenen vom euklidischer Coxeterkomplex $\Sigma$ und $E=|\Sigma|$. Sei $x\in E$ und sei $\overline{\mathcal{H}}$ die Menge der Hyperebenen die $x$ enth\"alten und parallel zur Element von $\mathcal{H}$ sind. Dann ist $\overline{\mathcal{H}}$ endlich und teilt $E$ in \emph{konische Zellen}. Eine konische Zelle mit maximaler Dimension ist ein \emph{Sektor}.
    \end{repetition}
\end{frame}

\begin{frame}
    
\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{Definition}
        Sei $\mathfrak{U}$ ein konische Zelle in $X$.\pause Die \emph{Seite von $\mathfrak{U}$ im Unendlich} ist die menge von idealer Punkte so dass $\mathfrak{U}$ der offene Strahl $(x,e):=[x,e)\setminus\{x\}$ besitzt, wobei $x$ die Kegelspitze ist.\pause Wir schreiben $\mathfrak{U_{\infty}}$ .
    \end{Definition}
\end{frame}
    
\begin{frame}
    \begin{Definition}
        Ein \emph{ideal Simplex} von $X$ ist eine Teilmenge $F$ von $X_{\infty}$ so dass es ein konische Zelle $\mathfrak{U}$ existiert mit $F = \mathfrak{U}_{\infty}$.
    \end{Definition}
    \begin{Bemerkung}
        Wir k\"onnen $\mathfrak{U}$ zur\"uckbekommen aus sein Ursprung $x$ und seine Seite im Unendlich $F=\mathfrak{U}_{\infty}$. Wir definiere: 
        \begin{equation*}
            x*F= 
            \begin{cases}
                \{x\}, & \text{Falls $F=\emptyset$}. \\
                \bigcup_{e\in F}{(x,e)}, & \text{sonst}.
            \end{cases}
        \end{equation*}
        Dann gilt $\mathfrak{U}=x*F$.
    \end{Bemerkung}
\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{notation}
            Sei $\Delta_{\infty}$ die Menge aller ideal Simplices von $X$ \pause und $\Sigma_{\infty}$ die Menge aller ideal Simplices $F$ so dass $F=\mathfrak{U}_{\infty}$ f\"ur ein konische Zelle $\mathfrak{U}$ in $E=|\Sigma|$. \pause \\
            Sei $\mathcal{U}_{x}$ die Menge der konischen Zellen mit Ursprung $x\in X$.
    \end{notation}
    \pause
    \begin{Lemma}
        Es existiert eine Bijektion zwischen $\Delta_{\infty}$ und $\mathcal{U}_{x}$, \pause die Menge von konische Zelle deren Ursprung $x\in X$ ist.
    \end{Lemma}
\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{Lemma}
        Es existiert eine Bijektion zwischen $\Delta_{\infty}$ und $\mathcal{U}_{x}$, die Menge von konische Zelle deren Ursprung $x\in X$ ist.
    \end{Lemma}
    \pause
    \begin{proof}
        Sei $\phi\colon\mathcal{U}_{x}\to\Delta_{\infty}, \mathfrak{U}\mapsto\mathfrak{U}_{\infty}$ \\
        \pause 
        \emph{Injektivit\"at:} \\ \pause
        Sei $\mathfrak{U},\mathfrak{U}'\in\mathcal{U}_{x}$ und $\phi(\mathfrak{U})=\phi(\mathfrak{U}')\neq\emptyset$ dann gilt \pause $$\mathfrak{U}=\bigcup_{e\in\phi(\mathfrak{U})}{(x,e)}=\bigcup_{e\in\phi(\mathfrak{U}')}{(x,e)}=\mathfrak{U}'$$ \\
    \end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{Lemma}
        Es existiert eine Bijektion zwischen $\Delta_{\infty}$ und $\mathcal{U}_{x}$, die Menge von konische Zelle deren Ursprung $x\in X$ ist.
    \end{Lemma}
    \pause
    \begin{proof}
        Sei $\phi\colon\mathcal{U}_{x}\to\Delta_{\infty}, \mathfrak{U}\mapsto\mathfrak{U}_{\infty}$ \\
        \emph{Surjektivit\"at:} \\ \pause
        Sei F in Element von $\Delta_{\infty}$ \pause dann existiert ein konische Zelle $\mathfrak{U}$ in $X$ mit $\mathfrak{U}_{\infty}=F$.\pause Sei $\mathfrak{C}$ ein Sektor so dass $\mathfrak{U}$ einer seiner  Seite ist. \pause Und sei $E$ ein Apartment dass $\mathfrak{C}$ enth\"alt. \pause Es existiert ein Untersektor $\mathfrak{C}'$ von $\mathfrak{C}$ so dass $\mathfrak{C}'$ und $x$ in ein Apartment $E'$ sind. \pause Dadurch existiert eine Seite $\mathfrak{U}'$ von $\mathfrak{C}'$ die eine Verschiebung von $\mathfrak{U}$ ist. \pause Sei $\mathfrak{U}''$ die Verschiebung von $\mathfrak{U}'$ in $E'$ mit $x$ als Ursprung. Dann gilt $\mathfrak{U}''\in\mathcal{U}_{x}$ und $\phi(\mathfrak{U}'')=F$.
    \end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{figure}
        \centering
        \begin{overprint}
        \onslide<1>\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
                \clip(-7,-2) rectangle (7,6);
                \draw [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                \draw [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0-0*\x)/-1});
                \draw [line width=2pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                \draw (0,3) node[anchor=north west] {$X =|\Delta|$};
            \end{tikzpicture}
        }
        \onslide<2>\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
                \clip(-7,-2) rectangle (7,6);
                \draw [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0-0*\x)/-1});
                \draw[color=blue] [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                \draw[color=blue] [line width=2pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                \draw (0,3) node[anchor=north west] {$X =|\Delta|$};
            \end{tikzpicture}
        }
        \onslide<3>\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
                \clip(-7,-2) rectangle (7,6);
                \draw [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                \draw[color=green] [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0-0*\x)/-1});
                \draw[color=green] [line width=2pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                \draw (0,3) node[anchor=north west] {$X =|\Delta|$};
            \end{tikzpicture}
        }
        \onslide<4>\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
                \clip(-7,-2) rectangle (7,6);
                \draw [line width=2pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                \draw[color=red] [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                \draw[color=red] [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0-0*\x)/-1});
                \draw (0,3) node[anchor=north west] {$X =|\Delta|$};
            \end{tikzpicture}
        }
        \onslide<5>\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
                \clip(-7,-2) rectangle (7,6);
                \draw [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                \draw [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0-0*\x)/-1});
                \draw [line width=2pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                \draw (0,3) node[anchor=north west] {$X =|\Delta|$};
            \end{tikzpicture}
        }
        \onslide<6>\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
                \begin{scope}
                \clip(-7,-2) rectangle (7,6);
                    \draw [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                    \draw [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0-0*\x)/-1});
                    \draw [line width=2pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                \end{scope}
                \fill[violet] (7,0) circle (0.1);
                \draw[color=violet] (7,0.6) node[anchor=north east] {$F$};
                \fill[brown] (-4,0) circle (0.1);
                \draw[color=brown] (-4,0.6) node[anchor=north east] {$x$};
                \draw (0,3) node[anchor=north west] {$X =|\Delta|$};
            \end{tikzpicture}
        }
        \onslide<7>\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
                \begin{scope}
                \clip(-7,-2) rectangle (7,6);
                    \draw [line width=2pt,domain=-7:-3] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                    \draw [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0-0*\x)/-1});                    \draw[color=orange] [line width=2pt,domain=-3:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                    \draw[color=orange] [line width=2pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                \end{scope}
                \fill[violet] (7,0) circle (0.1);
                \draw[color=violet] (7,0.6) node[anchor=north east] {$F$};
                \fill[brown] (-4,0) circle (0.1);
                \draw[color=brown] (-4,0.6) node[anchor=north east] {$x$};
                \draw[color=orange] (-3,1) node[anchor=north west] {$\mathfrak{U}=\mathfrak{C}$};
                \draw (0,3) node[anchor=north west] {$X =|\Delta|$};
            \end{tikzpicture}
        }
        \onslide<8>\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
                \begin{scope}
                \clip(-7,-2) rectangle (7,6);
                    \draw[color=blue] [line width=4pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                    \draw[color=blue] [line width=4pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                    \draw [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0-0*\x)/-1});                    \draw[color=orange] [line width=2pt,domain=-3:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                    \draw[color=orange] [line width=2pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                \end{scope}
                \fill[violet] (7,0) circle (0.1);
                \draw[color=violet] (7,0.6) node[anchor=north east] {$F$};
                \fill[brown] (-4,0) circle (0.1);
                \draw[color=brown] (-4,0.6) node[anchor=north east] {$x$};
                \draw[color=blue] (-3,4) node[anchor=north west] {$E = |\Sigma|$};
                \draw[color=orange] (-3,1) node[anchor=north west] {$\mathfrak{U}=\mathfrak{C}$};
                \draw (0,3) node[anchor=north west] {$X =|\Delta|$};
            \end{tikzpicture}
        }
        \onslide<9>\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
                \begin{scope}
                \clip(-7,-2) rectangle (7,6);
                    \draw [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0-0*\x)/-1});
                    \draw[color=blue] [line width=4pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                    \draw[color=blue] [line width=4pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                    \draw[color=orange] [line width=2pt,domain=2:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                \end{scope}
                \fill[violet] (7,0) circle (0.1);
                \draw[color=violet] (7,0.6) node[anchor=north east] {$F$};
                \fill[brown] (-4,0) circle (0.1);
                \draw[color=brown] (-4,0.6) node[anchor=north east] {$x$};
                \draw[color=blue] (-3,4) node[anchor=north west] {$E = |\Sigma|$};
                \draw[color=orange] (2,-0.5) node[anchor=north west] {$\mathfrak{C}'=\mathfrak{U}'$};
                \draw (0,3) node[anchor=north west] {$X =|\Delta|$};
            \end{tikzpicture}
        }
        \onslide<10>\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
                \begin{scope}
                \clip(-7,-2) rectangle (7,6);
                    \draw [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                    \draw[color=green] [line width=4pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0-0*\x)/-1});
                    \draw[color=green] [line width=4pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                    \draw[color=orange] [line width=2pt,domain=2:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                \end{scope}
                \fill[violet] (7,0) circle (0.1);
                \draw[color=violet] (7,0.6) node[anchor=north east] {$F$};
                \fill[brown] (-4,0) circle (0.1);
                \draw[color=brown] (-4,0.6) node[anchor=north east] {$x$};
                \draw[color=green] (-6,1) node[anchor=north west] {$E = |\Sigma|$};
                \draw[color=orange] (2,-0.5) node[anchor=north west] {$\mathfrak{C}'=\mathfrak{U}'$};
                \draw (0,3) node[anchor=north west] {$X =|\Delta|$};
            \end{tikzpicture}
        }
        \onslide<11>\resizebox{\linewidth}{!}{
            \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
                \begin{scope}
                \clip(-7,-2) rectangle (7,6);
                    \draw [line width=2pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0--1*\x)/-1});
                    \draw[color=green] [line width=4pt,domain=-7:0] plot(\x,{(-0-0*\x)/-1});
                    \draw[color=green] [line width=4pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                    \draw[color=orange] [line width=2pt,domain=-4:0] plot(\x,{(-0-0*\x)/-1});
                    \draw[color=orange] [line width=2pt,domain=0:7] plot(\x,{(-0-0*\x)/1});
                \end{scope}
                \fill[violet] (7,0) circle (0.1);
                \draw[color=violet] (7,0.6) node[anchor=north east] {$F$};
                \fill[brown] (-4,0) circle (0.1);
                \draw[color=brown] (-4,0.6) node[anchor=north east] {$x$};
                \draw[color=green] (-6,1) node[anchor=north west] {$E = |\Sigma|$};
                \draw[color=orange] (-4,-0.5) node[anchor=north west] {$\mathfrak{U}''$};
                \draw (0,3) node[anchor=north west] {$X =|\Delta|$};
            \end{tikzpicture}
        }
        \end{overprint}
        \caption{Caption}
        \label{fig:my_label}
    \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{Lemma}
        Die idealen Simplices zerlegen $X_{\infty}$.
    \end{Lemma}
    \pause
    \begin{proof}
        Jeder offene Strahl $(x,e)$ ist in ein Apartment $E$. \pause Der Strahl $(x,e)$ ist also in ein konische Zelle $\mathfrak{U}$ in $E$ mit $x$ als Ursprung, und $e\in\mathfrak{U}_{\infty}$. \pause Das hei\ss t dass $X_{\infty}$ die Vereinigung von alle idealen Simplices von $X$ ist. \\ \pause Nehmen wir an $F=\mathfrak{U}_{\infty}$ und $F'=\mathfrak{U}'_{\infty}$ sind zwei verschiedene ideale Simplices. \pause Dann gibt es ein Sektor $\mathfrak{C}$ in ein Apartment $E$ und ein Sektor $\mathfrak{C}'$ in ein Apartment $E'$ so dass $\mathfrak{U}$ und $\mathfrak{U}'$ Seite von $\mathfrak{C}$ bzw. $\mathfrak{C}'$ sind. \pause Wir k\"onnen also ein Apartment $E''$ finden dass Untersektoren von $\mathfrak{C}$ und $\mathfrak{C}'$ bzw. Verschiebung von $\mathfrak{U}=x*F$ und $\mathfrak{U}'= x*F'$ enth\"alt. Da die konische Zelle mit $x$ als Ursprung $E''$ zerlegen folgt dass $F$ und $F'$ disjunkt sind.
    \end{proof}
\end{frame}



\begin{frame}
    \begin{Lemma}
        Zwei Sektoren haben die selbe Seite im Unendlich genau dann wenn sie einen gemeinsamen Untersektor haben.
    \end{Lemma}
    \pause
    \begin{Proof}
    %\begin{itemize}
        %\renewcommand{\labelitemi}{$\Rightarrow$}
        %\renewcommand{\labelitemii}{$\Leftarrow$}
    
        %\item Sektoren haben die selbe Seite im Unendlich wie ihre Untersektoren. \pause
        
        %\item F\"ur zwei Sektoren $\mathfrak{C}_{1}$ und $\mathfrak{C}_{2}$ finden wir Untersektoren $\mathfrak{C}_{1}'$ und $\mathfrak{C}_{2}'$ in einen gemeinsames Apartment $E$. \pause $\mathfrak{C}_{1}'\cap\mathfrak{C}_{2}'$ ist also einen Untersektor (also mit selben Richtung) von $\mathfrak{C}_{1}'$, $\mathfrak{C}_{2}'$, $\mathfrak{C}_{1}$ und $\mathfrak{C}_{2}$.\pause $\mathfrak{C}_{1}$ und $\mathfrak{C}_{2}$ haben also die selbe Seite im Unendlich.
    %\end{itemize}
        
        
    \end{Proof}
\end{frame}

\begin{frame}
    Sei $\Delta_{\infty}$ die Menge aller ideal Simplices von $X$ \pause und $\Sigma_{\infty}$ die Menge aller ideal Simplices $F$ so dass $F=\mathfrak{U}_{\infty}$ f\"ur ein konische Zelle $\mathfrak{U}$ in $E=|\Sigma|$. \pause
    \begin{Definition}
        F\"ur ideal Simplices $F$ und $F'$, wird $F'$ als \emph{Seite} von F bezeichnet falls f\"ur ein $x\in X$ gilt dass $x\ast F'$ eine Seite von $x\ast F$ ist.
    \end{Definition}
\end{frame}

%\begin{frame}
%    \begin{theorem}
%        Die partiell geordnete Menge $\Delta_{\infty}$ ist ein sph\"arische Geb\"aude. \pause \\Es existiert eine bijektion zwischen die Menge der Apartment von $\Delta_{\infty}$ und die von $X$.
%    \end{theorem}
%    \pause
%    \begin{repetition}
%        Ein Geb\"aude ist ein simplicial Complex $\Delta$ und eine Vereinigung von Untercomplexes $\Sigma$ die man Apartment nennt. \pause Au\ss erdem m\"ussen folgenden Axiom gelten: 
%        \begin{itemize}%[leftmargin=2em]
%           \pause
%            \item[\textbf{(B0)}] Alle Apartment $\Sigma$ sind coxeter Complex.
%            \pause
%            \item[\textbf{(B1)}] F\"ur je zwei Simplices $A, B\in\Delta$, gibt es ein Apartment $\Sigma$ der beide enth\"alt.
%            \pause
%            \item[\textbf{(B2'')}] Falls $\Sigma$ und $\Sigma'$ zwei Apartement sind mit einen gemeisamen Kammer, dann existiert ein Isomorphismus $\Sigma\to\Sigma'$ dass alle Simplex in $\Sigma\cap\Sigma'$ fixiert.
%        \end{itemize}
%        \pause
%        Au\ss erdem nennen wir ein Geb\"aude \emph{sph\"arisch} falls seine Apartment endlich sind.
%    \end{repetition}
%\end{frame}

%\begin{frame}
%    \begin{theorem}
%        Die partiell geordnete Menge $\Delta_{\infty}$ ist ein sph\"arische Geb\"aude. Es existiert eine bijektion zwischen die Menge der Apartment von $\Delta_{\infty}$ und die von $X$.
%    \end{theorem}
%    \begin{Proof}
%        \begin{itemize}
%            \item \textbf{(B0)} Alle Apartment $\Sigma_{\infty}$ sind coxeter Complex.
%            \item \textbf{(B1)} F\"ur je zwei Simplices gibt es ein Apartment die beide enth\"alt.
%            \item $\Delta_{\infty}$ ist ein simplicial Complex
%            \item \textbf{(B2'')} ist erf\"ullt.
%            \item Es gibt eine Bijektion
%        \end{itemize}
%    \end{Proof}
%\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{Zu zeigen}
        \emph{Alle Apartment $\Sigma_{\infty}$ sind coxeter Complex.}
    \end{Zu zeigen}
    \pause
    \begin{Proof}
        Sei $\Sigma\subset\Delta$ mit $\Sigma(W,V)$. Dann gilt dass $\Sigma_{\infty}$ ist Isomorph zu $\Sigma(\overline{W},V)$. Dadurch sind alle $\Sigma_{\infty}\subset\Delta_{\infty}$ endliche coxeter Complexe.
    \end{Proof}
\end{frame}


\begin{frame}
    \begin{Zu zeigen}
        \emph{F\"ur je zwei Simplices gibt es ein Apartment die beide enth\"alt.} 
    \end{Zu zeigen}
    \pause
    \begin{Proof}
        Wurde im Lemma bewiesen.
    \end{Proof}
\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{Zu zeigen}
        \emph{$\Delta_{\infty}$ ist ein simplicial Complex} 
    \end{Zu zeigen}
    \pause
    \begin{Proof}
        $\Delta_{\infty}$ ist eine partiell geordnete Menge.\pause \\
        F\"ur zwei Element $F$ und $F'$ von $\Delta_{\infty}$ existiert einen $\Sigma_{\infty}$ der die beide enth\"alt. Da $\Sigma_{\infty}$ ein simplicial complex ist, haben $F$ und $F'$ eine gr\"o\ss te untere Schranke.\pause \\
        Und f\"ur $F\in\Delta_{\infty}$ ist $(\Delta_{\infty})_{\leq F} = (\Sigma_{\infty})_{\leq F} \cong\{1,...,r\}$ f\"ur ein $r\geq0$.
    \end{Proof}
\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{Zu zeigen}
        Falls $\Sigma_{\infty}$ und $\Sigma'_{\infty}$ zwei Apartment sind mit einen gemeinsamen Kammer, dann existiert ein Isomorphismus $\Sigma_{\infty}\to \Sigma'_{\infty}$ dass alle Simplex in $\Sigma_{\infty}\cap \Sigma'_{\infty}$ fixiert.
    \end{Zu zeigen}
    \pause
    \begin{Proof}
        Sei $E=|\Sigma|$ und $E'=|\Sigma'|$ zwei Apartment von $X$ so dass $\Sigma_{\infty}$ und $\Sigma'_{\infty}$ eine gemeinsamen Kammer haben. \pause  Es gibt also Sektor $\mathfrak{C}\subset E$ und $\mathfrak{C}'\subset E'$ mit $\mathfrak{C}_{\infty}=\mathfrak{C}'_{\infty}$. \pause Es folgt also aus Lemma dass $\mathfrak{C}$ und $\mathfrak{C}'$ ein gemeinsames Untersektor haben. \pause Es gilt also $E\cap E'\neq\emptyset$. \pause Sei $\psi:E'\to E$ den Isomorphismus dass den Schnitt punktweise fixiert. \pause Dann erzeugt $\psi$ ein Isomorphismus $\psi_{\infty}:\Sigma'_{\infty}\to\Sigma_{\infty}$. \pause Sei $F\in\Sigma_{\infty}\cap\Sigma'_{\infty}$ und $x\in E\cap E'$. \pause Dann gilt $x*F\subseteq E\cap E'$. \pause Dadurch wird $x*F$ von $\psi$ punktweise fixiert, also wird $F$ von $\psi_{\infty}$ fixiert.
    \end{Proof}
\end{frame}

\end{document}

\onslide<2>{
   \draw[color=orange] (-2,1) node[anchor=north west] {\Large$\mathfrak{r}$};
   \draw (0,3) node[anchor=north west] {$X =|\Delta|$};
}