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\documentclass[12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

\begin{document}
Im Spezialfall $\varphi=1$ hat man für ein $\xi \in [a,b]$
\begin{align*}
\int\limits_a^bf(x)\varphi(x)dx&=f(\xi)\int\limits_a^b\varphi(x)dx &\text{$\vert\varphi$ konst}\\
&=f(\xi)\varphi(x)(b-a)&\text{$\vert\varphi$ =1}\\
&=f(\xi)(b-a), 
\end{align*}
\end{document}

\documentclass[12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

\begin{document}
Im Spezialfall $\varphi=1$ hat man für ein $\xi \in [a,b]$
\begin{align*}
\int\limits_a^bf(x)\varphi(x)dx&=f(\xi)\int\limits_a^b\varphi(x)dx &\text{$\vert\varphi$ konst}\\
&=f(\xi)\varphi(x)(b-a)&\text{$\vert\varphi$ =1}\quad\\
&=f(\xi)(b-a), 
\end{align*}
\end{document}

\documentclass[12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

\begin{document}
Im Spezialfall $\varphi=1$ hat man für ein $\xi \in [a,b]$
\begin{align*}
\int\limits_a^bf(x)\varphi(x)dx&=f(\xi)\int\limits_a^b\varphi(x)dx &&\text{$\vert\;\varphi$ konst}\\
&=f(\xi)\varphi(x)(b-a)&&\text{$\vert\;\varphi=1$}\\
&=f(\xi)(b-a), 
\end{align*}
\end{document}

\documentclass[12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

\begin{document}
Wenn ich \textbf{intop} benutze sieht das im Text so aus und das finde ich hier im kommenden dreizeiligen Fließtext auch gut so: $\intop_a^bf(x)dx$. Das schiebt die Zeilen nicht auseinander schiebt.  Und jetzt schreibe ich noch ein wenig um auf drei Zeilen zu kommen.

Dagegen betrachte den Befehl \textbf{intlimits}, der sich etwas Platz schafft um die Intervallgrenzen darüber und darunter zu schreiben: $\int\limits_a^bf(x)dx$. Das ist ja auch meine priorisierte Darstellung innerhalb align, aber nicht im Fließtext.
\end{document}