von ThoRie » Do 25. Mai 2023, 10:37
Hallo,
ich habe mich mal dran gesetzt, weil ich das einfach nicht so stehen lassen konnte:
\documentclass[11pt,a4paper,twoside=false]{scrbook}
\usepackage[ngerman]{babel}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}
\usepackage[top=2.5cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{ltablex}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{caption}
\usepackage{icomma}
\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiterXPP\pz[3]{#1}{(}{)}{}%
{\,#2\,\delimsize|\,#3\,}
\usepackage{bm}
\begin{document}
\begin{titlepage}
\phantom{a}\\\\
\begin{center}
\vspace{\fill}
\Huge \textbf{Die Exponentialfunktion}
\end{center}
\phantom{abc}\\
\begin{center}
\LARGE \textbf{\phantom{a}}
\end{center}
\vspace{\fill}
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}llll}
& \\\\\\\\\\\\
\textbf{Autor:} & Mario Peters & \\
\textbf{Datum:} & \today & \\
& \\\\\\\\\\\\
\textbf{\phantom{Dozent:}} & \multicolumn{3}{l}{\phantom{a}}\\
\textbf{\phantom{Übungsleiter:}} & \multicolumn{3}{l}{\phantom{a}}\\\\
\end{tabularx}
\noindent\phantom{abxc}\\
\vspace{\fill}\\
\noindent \phantom{Dresden, 19.10.2018}
\thispagestyle{empty}
\quad
\end{titlepage}
\frontmatter
\tableofcontents
\listoffigures
\newpage
\mainmatter
\chapter{Die Exponentialfunktion}
Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die im einfachsten Fall die Form $f(x)=ax$
hat. Dabei ist die Basis $a$
eine reelle positive Zahl ungleich $0$
oder $1$
und der Exponent $x$
eine Variable. Wie die meisten Funktionen hat auch die Exponentialfunktion einen charakteristischen Graphen. Dieser lässt sich durch Parameter beeinflussen.
\section{Arten der Exponentialfunktion}
Es gibt unterschiedliche Arten von Exponentialfunktionen. Drei wichtige werden dir hier vorgestellt:
Wachstumsfunktionen sind monoton steigende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas zunimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion $f$.
Zerfallsfunktionen sind monoton fallende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas abnimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion $g$.
Die natürliche Exponentialfunktion ist eine Funktion, die als Basis die eulersche Zahl $\mathrm{e}$
hat. Sie beschreibt wachsende Vorgänge und zugleich ihre momentanen Änderungsraten.
Die Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion stellt in der Funktionsanalyse einen wichtigen Vorteil dar. Deshalb werden häufig mithilfe von Logarithmusfunktionen gewöhnliche Exponentialfunktionen in natürliche umgewandelt. Um dies durchführen zu können, musst du dich mit $\mathrm{e}$-Funktionen und den Rechenregeln der Logarithmusfunktionen gut auskennen.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=-5.5,xmax=5.5,ymin=-.5,ymax=6.5,x=1cm,y=1cm,domain=-5.5:5.5,restrict y to domain=-.5:6.5,samples=500,ytick={1,...,6},xtick={-5,...,5},axis lines=middle]
\addplot[mark=none,color=blue] {2^x} node[right,pos=.9]{$f(x)$};
\addplot[mark=none,color=red] {2^(-x)} node[left,pos=.1]{$g(x)$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\captionof{figure}{Arten der Exponentialfunktion}
\end{center}
\newpage
\section{Die Funktionsgleichungen und deren Parameter im Bezug auf den Graphen}
\begin{align*}
f(x)=\mathrm{e}^x
\end{align*}
Diese natürliche Exponentialfunktion kann noch durch 4 Parameter ($a$, $c$, $d$ und $y_{o}$) ergänzt werden.
Diese beeinflussen auf ihre spezifische Art den Graphen der Funktion.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=-5.5,xmax=5.5,ymin=-.5,ymax=6.5,x=1cm,y=1cm,domain=-5.5:5.5,restrict y to domain=-.5:6.5,samples=500,ytick={1,...,6},xtick={-5,...,5},axis lines=middle]
\addplot[mark=none,color=blue] {exp(x)} node[right,pos=.9]{$f(x)$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\captionof{figure}{Darstellung der natürlichen Exponentialfunktion $f(x)=\mathrm{e}^x$}
\end{center}
Die typische Exponentialfunktion
\begin{itemize}[label=$\cdot$]
\item schneidet die $y$-Achse im Punkt $\pz*{S_y}{0}{1}$,
\item ist streng monoton steigend und
\item der Graph nähert sich der $x$-Achse an, aber berührt diese nicht (Asymptote: $y=0$).
\end{itemize}
\chapter{Die natürliche Exponentialfunktion\,/\,$\bm{\mathrm{e}}$-Funktion}
\chapter{Ableitungsgraphen der Exponentialfunktion untersuchen}
\section{Aufgabe 1}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeichnen Sie zu $f$mit $f(x)=a^x$ mit dem GTR oder GeoGebra die Graphen von $f(x)$, $f'(x)$ und $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Variieren Sie die Basis und beschreiben Sie, was Ihnen auffällt.
\item Es gibt eine Zahl $\mathrm{e}$, für die der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^x$ exakt mit dem Graphen der Ableitungsfunktion übereinstimmt. Diese Zahl heißt \textbf{\textit{Euler'sche Zahl}}. Bestimmen Sie mit dem GTR\,/\,GeoGebra durch Variationder Werte in (a) einen Näherungswert für diese Zahl.
\end{enumerate}
\section{Bearbeitung der Aufgabe 1}
\begin{minipage}[t]{.4\linewidth}
\resizebox{\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=-2.5,xmax=2.5,ymin=-.5,ymax=3,x=1cm,y=1cm,domain=-2.5:2.5,restrict y to domain=-.5:3,samples=500,ytick={1,...,2},xtick={-2,...,2},axis lines=middle,font={\footnotesize}]
\addplot[mark=none,color=blue] {1.8^x} node[left,pos=.9]{$f(x)$};
\addplot[mark=none,color=gray] {1.8^x*ln(1.} node[right,pos=.7]{$f'(x)$};
\addplot[mark=none,color=red] {1.8^x*ln(1./(1.8^x)} node[above,pos=.1]{$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}}
\captionof{figure}{$f(x)=a^x$, $a=1,8$}
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}[t]{.4\linewidth}
\resizebox{\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=-2.5,xmax=2.5,ymin=-.5,ymax=3,x=1cm,y=1cm,domain=-2.5:2.5,restrict y to domain=-.5:3,samples=500,ytick={1,...,2},xtick={-2,...,2},axis lines=middle,font={\footnotesize}]
\addplot[mark=none,color=blue] {2.4^x} node[left,pos=.9]{$f(x)$};
\addplot[mark=none,color=gray] {2.4^x*ln(2.4)} node[right,pos=.9]{$f'(x)$};
\addplot[mark=none,color=red] {2.4^x*ln(2.4)/(2.4^x)} node[above,pos=.1]{$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}}
\captionof{figure}{$f(x)=a^x$, $a=2,4$}
\end{minipage}\\
\begin{minipage}[t]{.4\linewidth}
\resizebox{\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=-2.5,xmax=2.5,ymin=-.5,ymax=3,x=1cm,y=1cm,domain=-2.5:2.5,restrict y to domain=-.5:3,samples=500,ytick={1,...,2},xtick={-2,...,2},axis lines=middle,font={\footnotesize}]
\addplot[mark=none,color=blue] {2.7^x} node[left,pos=.9]{$f(x)$};
\addplot[mark=none,color=gray] {2.7^x*ln(2.7)} node[right,pos=.9]{$f'(x)$};
\addplot[mark=none,color=red] {2.7^x*ln(2.7)/(2.7^x)} node[above,pos=.1]{$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}}
\captionof{figure}{$f(x)=a^x$, $a=2,7$}
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}[t]{.4\linewidth}
\resizebox{\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=-2.5,xmax=2.5,ymin=-.5,ymax=3,x=1cm,y=1cm,domain=-2.5:2.5,restrict y to domain=-.5:3,samples=500,ytick={1,...,2},xtick={-2,...,2},axis lines=middle,font={\footnotesize}]
\addplot[mark=none,color=blue] {3.5^x} node[right,pos=.9]{$f(x)$};
\addplot[mark=none,color=gray] {3.5^x*ln(3.5)} node[left,pos=.9]{$f'(x)$};
\addplot[mark=none,color=red] {3.5^x*ln(3.5)/(3.5^x)} node[above,pos=.1]{$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}}
\captionof{figure}{$f(x)=a^x$, $a=3,5$}
\end{minipage}
\vspace{\fill}
Der Graph von $f'$ verläuft unterhalb von dem Graphen von $f$ für alle $a<2,7$ . Für ca. $a=2,7$ stimmen die beiden Graphen (fast) überein und es gilt: $\frac{f'}{f} \approx 1$. Für $a>2,7$ verläuft der Graph von $f'$ oberhalb von $f$. Durch die Variation von $a$ in noch kleineren Schrittweiten erhält man einen Näherungswert $2,718$ für die Euler´sche Zahl $\mathrm{e}$.
\newpage
\section{Aufgabe 2}
Bringen Sie die Kärtchen mit den folgenden Rechenschritten und Schlussfolgerungen in die richtige Reihenfolge. Erläutern Sie die jeweiligen Termumformungen oder Schlussfolgerungen.
\section{Bearbeitung der Aufgabe 2}
gegebene Funktion: $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=a^x$
\begin{align*}
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\Longleftrightarrow\dfrac{a^{x+h}-a^x}{h}\Longleftrightarrow\dfrac{a^x\cdot a^h-a^x}{h}\Longleftrightarrow\dfrac{a^x\cdot a^{h-1}}{h}\Longleftrightarrow a^x\cdot\dfrac{a^{0+h}-a^0}{h}
\end{align*}
Für die Ableitung einer Exponentialfunktion vom Typ $f(x)=a^x$, $(a>0)$ gilt:\begin{align*}
f'(x)=f'(0)\cdot a^x.
\end{align*}
Die Ableitung einer Exponentialfunktion $f'$ ist damit proportional zu der Funktion $f$.
\end{document}
Ziel des Forums ist es aber eigentlich, sich spezifischer Probleme anzunehmen und bei diesen zu helfen. Dafür braucht es ein Minimalbeispiel, das das Problem oder den Fehler reproduzieren kann. Ziel ist es nicht komplette Arbeiten zu überarbeiten.
Und hier noch etwas zu deinen Design-Entscheidungen:
1. Ich weiß nicht, woher diese Idee kommt, aber lass die Finger von flushleft. Es gibt einen guten Grund, das LaTeX grundsätzlich im Blocksatz schreibt. Linksbündig arbeitet man eigentlich nicht.
2. Zu deinen Bildern. Es war leider nicht möglich, diese wie erwünscht einzubetten. Damit so etwas funktioniert, müssen Bilder die selben Abmessungen haben. Ich habe die jetzt darum einfach reingeplottet. Wenn du also Bilder hast, die nicht die komplett gleichen Maße haben und diese unbedingt einbetten willst, dann musst du dir etwas anderes Überlegen, als nebeneinander. Das wird sonst immer unschön aussehen.
3. Allgemein bei Graphen im KOS, rate ich dir, diese nicht mit tikZ selbst zu zeichnen sondern mit pgfplots. Dort hast du viel mehr Möglichkeiten und es sieht auch fast immer besser aus
Noch ein letztes Ding zum Schluss. Du musst dir immer überlegen, was genau du eigentlich verfassen willst und danach die Klasse auswählen. Für so etwas bietet sich eben zum Beispiel eher eine book-Variaton an, als ein article.
Ich hoffe, ich konnte etwas helfen.
Hallo,
ich habe mich mal dran gesetzt, weil ich das einfach nicht so stehen lassen konnte:
[code]\documentclass[11pt,a4paper,twoside=false]{scrbook}
\usepackage[ngerman]{babel}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}
\usepackage[top=2.5cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{ltablex}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{caption}
\usepackage{icomma}
\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiterXPP\pz[3]{#1}{(}{)}{}%
{\,#2\,\delimsize|\,#3\,}
\usepackage{bm}
\begin{document}
\begin{titlepage}
\phantom{a}\\\\
\begin{center}
\vspace{\fill}
\Huge \textbf{Die Exponentialfunktion}
\end{center}
\phantom{abc}\\
\begin{center}
\LARGE \textbf{\phantom{a}}
\end{center}
\vspace{\fill}
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}llll}
& \\\\\\\\\\\\
\textbf{Autor:} & Mario Peters & \\
\textbf{Datum:} & \today & \\
& \\\\\\\\\\\\
\textbf{\phantom{Dozent:}} & \multicolumn{3}{l}{\phantom{a}}\\
\textbf{\phantom{Übungsleiter:}} & \multicolumn{3}{l}{\phantom{a}}\\\\
\end{tabularx}
\noindent\phantom{abxc}\\
\vspace{\fill}\\
\noindent \phantom{Dresden, 19.10.2018}
\thispagestyle{empty}
\quad
\end{titlepage}
\frontmatter
\tableofcontents
\listoffigures
\newpage
\mainmatter
\chapter{Die Exponentialfunktion}
Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die im einfachsten Fall die Form $f(x)=ax$
hat. Dabei ist die Basis $a$
eine reelle positive Zahl ungleich $0$
oder $1$
und der Exponent $x$
eine Variable. Wie die meisten Funktionen hat auch die Exponentialfunktion einen charakteristischen Graphen. Dieser lässt sich durch Parameter beeinflussen.
\section{Arten der Exponentialfunktion}
Es gibt unterschiedliche Arten von Exponentialfunktionen. Drei wichtige werden dir hier vorgestellt:
Wachstumsfunktionen sind monoton steigende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas zunimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion $f$.
Zerfallsfunktionen sind monoton fallende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas abnimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion $g$.
Die natürliche Exponentialfunktion ist eine Funktion, die als Basis die eulersche Zahl $\mathrm{e}$
hat. Sie beschreibt wachsende Vorgänge und zugleich ihre momentanen Änderungsraten.
Die Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion stellt in der Funktionsanalyse einen wichtigen Vorteil dar. Deshalb werden häufig mithilfe von Logarithmusfunktionen gewöhnliche Exponentialfunktionen in natürliche umgewandelt. Um dies durchführen zu können, musst du dich mit $\mathrm{e}$-Funktionen und den Rechenregeln der Logarithmusfunktionen gut auskennen.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=-5.5,xmax=5.5,ymin=-.5,ymax=6.5,x=1cm,y=1cm,domain=-5.5:5.5,restrict y to domain=-.5:6.5,samples=500,ytick={1,...,6},xtick={-5,...,5},axis lines=middle]
\addplot[mark=none,color=blue] {2^x} node[right,pos=.9]{$f(x)$};
\addplot[mark=none,color=red] {2^(-x)} node[left,pos=.1]{$g(x)$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\captionof{figure}{Arten der Exponentialfunktion}
\end{center}
\newpage
\section{Die Funktionsgleichungen und deren Parameter im Bezug auf den Graphen}
\begin{align*}
f(x)=\mathrm{e}^x
\end{align*}
Diese natürliche Exponentialfunktion kann noch durch 4 Parameter ($a$, $c$, $d$ und $y_{o}$) ergänzt werden.
Diese beeinflussen auf ihre spezifische Art den Graphen der Funktion.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=-5.5,xmax=5.5,ymin=-.5,ymax=6.5,x=1cm,y=1cm,domain=-5.5:5.5,restrict y to domain=-.5:6.5,samples=500,ytick={1,...,6},xtick={-5,...,5},axis lines=middle]
\addplot[mark=none,color=blue] {exp(x)} node[right,pos=.9]{$f(x)$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\captionof{figure}{Darstellung der natürlichen Exponentialfunktion $f(x)=\mathrm{e}^x$}
\end{center}
Die typische Exponentialfunktion
\begin{itemize}[label=$\cdot$]
\item schneidet die $y$-Achse im Punkt $\pz*{S_y}{0}{1}$,
\item ist streng monoton steigend und
\item der Graph nähert sich der $x$-Achse an, aber berührt diese nicht (Asymptote: $y=0$).
\end{itemize}
\chapter{Die natürliche Exponentialfunktion\,/\,$\bm{\mathrm{e}}$-Funktion}
\chapter{Ableitungsgraphen der Exponentialfunktion untersuchen}
\section{Aufgabe 1}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zeichnen Sie zu $f$mit $f(x)=a^x$ mit dem GTR oder GeoGebra die Graphen von $f(x)$, $f'(x)$ und $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Variieren Sie die Basis und beschreiben Sie, was Ihnen auffällt.
\item Es gibt eine Zahl $\mathrm{e}$, für die der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^x$ exakt mit dem Graphen der Ableitungsfunktion übereinstimmt. Diese Zahl heißt \textbf{\textit{Euler'sche Zahl}}. Bestimmen Sie mit dem GTR\,/\,GeoGebra durch Variationder Werte in (a) einen Näherungswert für diese Zahl.
\end{enumerate}
\section{Bearbeitung der Aufgabe 1}
\begin{minipage}[t]{.4\linewidth}
\resizebox{\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=-2.5,xmax=2.5,ymin=-.5,ymax=3,x=1cm,y=1cm,domain=-2.5:2.5,restrict y to domain=-.5:3,samples=500,ytick={1,...,2},xtick={-2,...,2},axis lines=middle,font={\footnotesize}]
\addplot[mark=none,color=blue] {1.8^x} node[left,pos=.9]{$f(x)$};
\addplot[mark=none,color=gray] {1.8^x*ln(1.8)} node[right,pos=.7]{$f'(x)$};
\addplot[mark=none,color=red] {1.8^x*ln(1.8)/(1.8^x)} node[above,pos=.1]{$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}}
\captionof{figure}{$f(x)=a^x$, $a=1,8$}
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}[t]{.4\linewidth}
\resizebox{\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=-2.5,xmax=2.5,ymin=-.5,ymax=3,x=1cm,y=1cm,domain=-2.5:2.5,restrict y to domain=-.5:3,samples=500,ytick={1,...,2},xtick={-2,...,2},axis lines=middle,font={\footnotesize}]
\addplot[mark=none,color=blue] {2.4^x} node[left,pos=.9]{$f(x)$};
\addplot[mark=none,color=gray] {2.4^x*ln(2.4)} node[right,pos=.9]{$f'(x)$};
\addplot[mark=none,color=red] {2.4^x*ln(2.4)/(2.4^x)} node[above,pos=.1]{$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}}
\captionof{figure}{$f(x)=a^x$, $a=2,4$}
\end{minipage}\\
\begin{minipage}[t]{.4\linewidth}
\resizebox{\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=-2.5,xmax=2.5,ymin=-.5,ymax=3,x=1cm,y=1cm,domain=-2.5:2.5,restrict y to domain=-.5:3,samples=500,ytick={1,...,2},xtick={-2,...,2},axis lines=middle,font={\footnotesize}]
\addplot[mark=none,color=blue] {2.7^x} node[left,pos=.9]{$f(x)$};
\addplot[mark=none,color=gray] {2.7^x*ln(2.7)} node[right,pos=.9]{$f'(x)$};
\addplot[mark=none,color=red] {2.7^x*ln(2.7)/(2.7^x)} node[above,pos=.1]{$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}}
\captionof{figure}{$f(x)=a^x$, $a=2,7$}
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}[t]{.4\linewidth}
\resizebox{\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=-2.5,xmax=2.5,ymin=-.5,ymax=3,x=1cm,y=1cm,domain=-2.5:2.5,restrict y to domain=-.5:3,samples=500,ytick={1,...,2},xtick={-2,...,2},axis lines=middle,font={\footnotesize}]
\addplot[mark=none,color=blue] {3.5^x} node[right,pos=.9]{$f(x)$};
\addplot[mark=none,color=gray] {3.5^x*ln(3.5)} node[left,pos=.9]{$f'(x)$};
\addplot[mark=none,color=red] {3.5^x*ln(3.5)/(3.5^x)} node[above,pos=.1]{$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}}
\captionof{figure}{$f(x)=a^x$, $a=3,5$}
\end{minipage}
\vspace{\fill}
Der Graph von $f'$ verläuft unterhalb von dem Graphen von $f$ für alle $a<2,7$ . Für ca. $a=2,7$ stimmen die beiden Graphen (fast) überein und es gilt: $\frac{f'}{f} \approx 1$. Für $a>2,7$ verläuft der Graph von $f'$ oberhalb von $f$. Durch die Variation von $a$ in noch kleineren Schrittweiten erhält man einen Näherungswert $2,718$ für die Euler´sche Zahl $\mathrm{e}$.
\newpage
\section{Aufgabe 2}
Bringen Sie die Kärtchen mit den folgenden Rechenschritten und Schlussfolgerungen in die richtige Reihenfolge. Erläutern Sie die jeweiligen Termumformungen oder Schlussfolgerungen.
\section{Bearbeitung der Aufgabe 2}
gegebene Funktion: $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=a^x$
\begin{align*}
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\Longleftrightarrow\dfrac{a^{x+h}-a^x}{h}\Longleftrightarrow\dfrac{a^x\cdot a^h-a^x}{h}\Longleftrightarrow\dfrac{a^x\cdot a^{h-1}}{h}\Longleftrightarrow a^x\cdot\dfrac{a^{0+h}-a^0}{h}
\end{align*}
Für die Ableitung einer Exponentialfunktion vom Typ $f(x)=a^x$, $(a>0)$ gilt:\begin{align*}
f'(x)=f'(0)\cdot a^x.
\end{align*}
Die Ableitung einer Exponentialfunktion $f'$ ist damit proportional zu der Funktion $f$.
\end{document}[/code]
Ziel des Forums ist es aber eigentlich, sich spezifischer Probleme anzunehmen und bei diesen zu helfen. Dafür braucht es ein Minimalbeispiel, das das Problem oder den Fehler reproduzieren kann. Ziel ist es nicht komplette Arbeiten zu überarbeiten.
Und hier noch etwas zu deinen Design-Entscheidungen:
1. Ich weiß nicht, woher diese Idee kommt, aber lass die Finger von flushleft. Es gibt einen guten Grund, das LaTeX grundsätzlich im Blocksatz schreibt. Linksbündig arbeitet man eigentlich nicht.
2. Zu deinen Bildern. Es war leider nicht möglich, diese wie erwünscht einzubetten. Damit so etwas funktioniert, müssen Bilder die selben Abmessungen haben. Ich habe die jetzt darum einfach reingeplottet. Wenn du also Bilder hast, die nicht die komplett gleichen Maße haben und diese unbedingt einbetten willst, dann musst du dir etwas anderes Überlegen, als nebeneinander. Das wird sonst immer unschön aussehen.
3. Allgemein bei Graphen im KOS, rate ich dir, diese nicht mit tikZ selbst zu zeichnen sondern mit pgfplots. Dort hast du viel mehr Möglichkeiten und es sieht auch fast immer besser aus :D
Noch ein letztes Ding zum Schluss. Du musst dir immer überlegen, was genau du eigentlich verfassen willst und danach die Klasse auswählen. Für so etwas bietet sich eben zum Beispiel eher eine book-Variaton an, als ein article.
Ich hoffe, ich konnte etwas helfen.