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\documentclass{article}
\usepackage{mathtools}

\DeclareMathSymbol{\noahsum}{\mathop}{operators}{"06}
\begin{document}
Hier ist Text $\sum_{i=1}^{N}$ und mehr text

\begin{gather*}
	\noahsum_{i=1}^{N} \\
	\sum_{i=1}^{N} \\
	\Sigma_{i=1}^{N} 
\end{gather*}
\end{document}

%
%
\documentclass[a4]{scrreprt}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[ngerman,english]{babel}

\usepackage[fleqn]{amsmath} %Math
\usepackage{amsthm}
\setlength{\mathindent}{1.5cm}
\usepackage{amstext}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amssymb}

\begin{document}
\begin{align}
   x &=
   \begin{bmatrix}
   x_{1}\\
   x_{2}\\
   \vdots\\
   x_{N}
   \end{bmatrix},& \mspace{-60mu}   \sum_{i=1}^{N} &= 1&&    
\end{align}
\end{document}
%

\documentclass{scrartcl} 
\usepackage{mathtools}

\begin{document}
Entweder
\[
\sum_{k=1}^N k^2 
\]
oder z.B.
\begin{align}
\sum_{k=1}^N k^2
\end{align}

Beim Befehl \texttt{nolimits} ist es egal, ob Display Math oder nicht, die Grenzen werden immer daneben angezeigt:

\[
\sum\nolimits_{k=1}^N k^2 
\]

Im Fließtext ist es egal:
$\sum\nolimits_{k=1}^N k^2$ 
oder
$\sum_{k=1}^N k^2$ macht keinen Unterschied.

\end{document}