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Du kannst keine Displaymath-Umgebung in eine c-Spalte tun, genausowenig wie du dort Listen oder mehrzeilige Texte reintun kannst. Benutze einfach $P=\frac{a}{b}$.

\documentclass{scrartcl}

\usepackage{xltxtra}
\defaultfontfeatures{Mapping=tex-text}

% Sprache
\usepackage{polyglossia}
\setdefaultlanguage[spelling=new]{german}

% Mathe
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\begin{document}

\begin{tabular}{c c}
    $$P=\frac{a}{b}$$ &
    zz
\end{tabular}
\end{document}

(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd)
! Missing $ inserted.
<inserted text> 
                $
l.18     $$P=\frac{a}{b}
                        $$ &
! Extra }, or forgotten $.
\frac  #1#2->{\begingroup #1\endgroup \@@over #2}

Ich verstehe gerade das Problem nicht. Ich möchte einen simplen Bruch in einer Tabelle darstellen.

Das ist der Code
[code]\documentclass{scrartcl}

\usepackage{xltxtra}
\defaultfontfeatures{Mapping=tex-text}

% Sprache
\usepackage{polyglossia}
\setdefaultlanguage[spelling=new]{german}

% Mathe
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\begin{document}

\begin{tabular}{c c}
$$P=\frac{a}{b}$$ &
zz
\end{tabular}
\end{document}[/code]

Das ist ein Ausschnitt der Fehlermeldungen
[code](/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd)
! Missing $ inserted.
<inserted text>
$
l.18 $$P=\frac{a}{b}
$$ &
! Extra }, or forgotten $.
\frac #1#2->{\begingroup #1\endgroup \@@over #2}[/code]