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\DeclareRobustCommand{\[}{\begin{equation*}}
\DeclareRobustCommand{\]}{\end{equation*}}

\documentclass[12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{paralist}

\begin{document}
\textbf{EINMAL MIT EQUATION BEI A)}

Dann gilt
\begin{enumerate}[a)]
\item Die Funktionen $f_+,f_-$ und $|f|$ sind integrierbar und es gilt
\begin{equation*}
|\intop_a^bf(x)dx|\leq\intop_a^b|f(x)|dx.
\end{equation*}
\item Für jedes $p \in [1,\infty)$ ist die Funktion $|f|^p$ integrierbar.
\end{enumerate}
\textbf{EINMAL MIT $\backslash [...\backslash ]$ BEI A)}

Dann gilt
\begin{enumerate}[a)]
\item Die Funktionen $f_+,f_-$ und $|f|$ sind integrierbar und es gilt \[|\intop_a^bf(x)dx|\leq\intop_a^b|f(x)|dx.\]
\item Für jedes $p \in [1,\infty)$ ist die Funktion $|f|^p$ integrierbar.
\end{enumerate}
\end{document}

hello \(world \(can\) we\) have some tea?

hello $world $can$ we$ have some tea?

\documentclass[12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

\newcommand*\diff{\mathop{}\!\mathrm{d}}

\begin{document}
und
\begin{align*}
a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b
\end{align*}

und
\begin{equation*}
a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b
\end{equation*}

und
\begin{center}
$a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b$
\end{center}
eine Zerlegung des Intervalls $[a,b]$

bei längeren Texten ist das aber nicht so
\begin{align*}
\int_a^b f(x) \diff x = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_{i}) (x_{i+1}-x_{i})
\end{align*}

bei längeren Texten ist das aber nicht so
\begin{equation*}
\int_a^b f(x) \diff x = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_{i}) (x_{i+1}-x_{i})
\end{equation*}

bei längeren Texten ist das aber nicht so
\begin{center}
$\int_a^b f(x) \diff x = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_{i}) (x_{i+1}-x_{i})$
\end{center}
\end{document}

\documentclass[12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

\begin{document}
Sei also jetzt \textbf{via align} beispielsweise mal
\begin{align*}
a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b
\end{align*}
eine Zerlegung des Intervalls $[a,b]$

Sei also jetzt \textbf{via equation} beispielsweise mal
\begin{equation*}
a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b
\end{equation*}
eine Zerlegung des Intervalls $[a,b]$

Sei also jetzt \textbf{center} beispielsweise mal
\begin{center}
$a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b$
\end{center}
eine Zerlegung des Intervalls $[a,b]$
\end{document}

\documentclass[12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

\begin{document}
Wenn ich \textbf{intop} benutze sieht das im Text so aus und das finde ich hier im kommenden dreizeiligen Fließtext auch gut so: $\intop_a^bf(x)dx$. Das schiebt die Zeilen nicht auseinander schiebt.  Und jetzt schreibe ich noch ein wenig um auf drei Zeilen zu kommen.

Dagegen betrachte den Befehl \textbf{intlimits}, der sich etwas Platz schafft um die Intervallgrenzen darüber und darunter zu schreiben: $\int\limits_a^bf(x)dx$. Das ist ja auch meine priorisierte Darstellung innerhalb align, aber nicht im Fließtext.
\end{document}