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xtick       = {0.876},
xticklabels = {$x_1$},

\documentclass{article}

\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}

\begin{document}

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}
        [
        width=10cm, % Breite des Diagramms
        height=9cm, % Höhe des Diagramms
        xmin=0, xmax=1, % Skalierung der x-Achse
        ymin=0, ymax=1, % Skalierung der y-Achse
        xlabel=$x$, % Achsenbeschriftung der x-Achse
        ylabel=$y$, % Achsenbeschriftung der y-Achse
        xtick={0,1}, % Entfernt die Zahlen auf der x-Achse
        ytick={0,1}, % Entfernt die Zahlen auf der y-Achse
        ]

	% Diagonale
        \addplot[domain=0:1, color=gray] {x}; 

	% Rote Gerade
        \addplot[domain=0:1, color=red] coordinates {(0.0, 0.272) (0.878, 0.877)};

	% Blaue gebogene Linie
        \draw [blue] (axis cs:0,0) to [bend left=1cm] (axis cs:1,1);

	% Gestrichelte Linie
        \draw[dashed] (0.876, 0.001) -- (0.876, 0.878);

        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
\end{figure}

\end{document}

 \draw[dashed] (0.876, 0.001) -- (0.876, 0.878);

\draw [blue] (axis cs:0,0) to [bend left=1cm] (axis cs:1,1);

\documentclass{article}

\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}

\begin{document}

\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}
        [
        width=10cm, % Breite des Diagramms
        height=9cm, % Höhe des Diagramms
        xmin=0, xmax=1, % Skalierung der x-Achse
        ymin=0, ymax=1, % Skalierung der y-Achse
        xlabel=$x$, % Achsenbeschriftung der x-Achse
        ylabel=$y$, % Achsenbeschriftung der y-Achse
        xtick={0,1}, % Entfernt die Zahlen auf der x-Achse
        ytick={0,1}, % Entfernt die Zahlen auf der y-Achse
        ]

        \addplot[domain=0:1, color=gray] {x}; 

        \addplot[domain=0:1, color=red] coordinates {(0.0, 0.272) (0.878, 0.877)};
     
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
\end{figure}

\end{document}