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Auch ich möchte mich dem Wunsch nach einem [MWE][/MWE] anschließen.

Wenn bspw. der sichtbare Bereich der Geraden an irgendeiner Stelle beschriftet werden soll, dann kannst Du dafür die Option [tt]domain[/tt] der Umgebung [tt]axis[/tt] benutzen und diese auf das Minimum sowie Maximum der x-Achse begrenzen, damit man den von [tt]\addplot[/tt] abhängigen Knoten über dessen optionales Argument an die gewünschte Position setzen kann. Mithilfe der Option [tt]clip[/tt] der [tt]axis[/tt]-Umgebung kann man einstellen, ob Beschriftungen, wie z. B. p* und x*, jenseits der Achsen ausgegeben werden.

Die Knoten für die Beschriftung der Flächen könnten sich an p* orientieren.

Bei Deinem Beispiel fehlen Pakete. Ferner gibt es undefinierte Kommandos.
Es ist so nicht lauffähig.
Abgesehen davon ist mir unklar, wo genau da was für eine Beschriftung stehen soll; kann m.E. auch niemand außer Dir selbst wissen...

Ansonsten kann man normalerweise schon
[tt]\addplot[...]{....} [b]node[...]{...}; [/b][/tt]
machen.

Hier dürfte es vermutlich eher daraus rauslaufen, dass man ganz normal eine node ergänzt
[tt]\node[...] at (...,...) {....};[/tt]

Aber wie gesagt: ich habe keine Ahnung, was da am Ende rauskommen soll. (Tip: ein erklärendes Bild [Paint etc.] sagt meistens mehr als 1000 Worte.)

\documentclass[12pt,oneside]{report}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{tikz} 

\begin{document}
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\begin{axis}
[xmin=0, xmax=3.8, ymin=0, ymax=24, xlabel=$\pmb{x}$, ylabel=$\pmb{p}$, ticks=none,
label style={color=black,font=\bfseries}, axis x line=bottom, axis y line=left, x label style={at={(current axis.right of origin)},anchor= north, left=-5mm},
y label style={at={(current axis.above origin)},rotate=270, anchor=east, above=.5mm},
samples=5,]

% add line
\addplot[YellowGreen, thick, mark=none] (x,20-5*x) node[above]{$x^A(p)$}; % demand 
\addplot[blue, thick, mark=none] (x, 2+4*x); % supply
\addplot[orange, thick, mark=none] (x, x*0+10); % supply


% add shaded area
\addplot[fill=YellowGreen, draw=none, fill opacity=0.5] coordinates {(0,20) (2,10) (0,10)} \closedcycle;
\addplot[fill=blue, draw=none, fill opacity=0.4] coordinates {(0,2) (0,10) (2,10) (0,2)} \closedcycle;

% add dotted lines
\draw[thick, white, dotted] (axis cs:2,0) -- (axis cs:2,10);
\draw[thick, transparent, dotted] (axis cs:0,10) -- (axis cs:2,10); \end{axis}
\draw[dashed]  (0,2.36) -| (3.6,0) node[below]{$x^{\ast}$};
\draw[thin]  (2.4,0) -| (0,2.4) node[left]{$p^{\ast}$};
\draw [black, fill=black]  (3.625,0) circle (2pt);
\draw [black, fill=black]  (0,2.36) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
\caption{Gleichgewicht auf vollständigen Märkten}
\end{figure}

\end{document}

[code]\documentclass[12pt,oneside]{report}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{tikz}

\begin{document}
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\begin{axis}
[xmin=0, xmax=3.8, ymin=0, ymax=24, xlabel=$\pmb{x}$, ylabel=$\pmb{p}$, ticks=none,
label style={color=black,font=\bfseries}, axis x line=bottom, axis y line=left, x label style={at={(current axis.right of origin)},anchor= north, left=-5mm},
y label style={at={(current axis.above origin)},rotate=270, anchor=east, above=.5mm},
samples=5,]

% add line
\addplot[YellowGreen, thick, mark=none] (x,20-5*x) node[above]{$x^A(p)$}; % demand
\addplot[blue, thick, mark=none] (x, 2+4*x); % supply
\addplot[orange, thick, mark=none] (x, x*0+10); % supply


% add shaded area
\addplot[fill=YellowGreen, draw=none, fill opacity=0.5] coordinates {(0,20) (2,10) (0,10)} \closedcycle;
\addplot[fill=blue, draw=none, fill opacity=0.4] coordinates {(0,2) (0,10) (2,10) (0,2)} \closedcycle;

% add dotted lines
\draw[thick, white, dotted] (axis cs:2,0) -- (axis cs:2,10);
\draw[thick, transparent, dotted] (axis cs:0,10) -- (axis cs:2,10); \end{axis}
\draw[dashed] (0,2.36) -| (3.6,0) node[below]{$x^{\ast}$};
\draw[thin] (2.4,0) -| (0,2.4) node[left]{$p^{\ast}$};
\draw [black, fill=black] (3.625,0) circle (2pt);
\draw [black, fill=black] (0,2.36) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
\caption{Gleichgewicht auf vollständigen Märkten}
\end{figure}

\end{document}[/code]

Würde gerne die Flächen innerhalb der figure-Umgebung bezeichnen und auch die Kurven jeweils am Ende. Leider funktioniert "node" nicht mit \addplot oder ich weiß nicht, wie das geht. Daher wäre ich um Hilfe sehr dankbar!