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\title{Mechanische Schwingungen}
\author{Michael Sams}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\begin{center}
\section*{Grundbegriffe}
 \begin{tabular}{l|c}
     Frequenz f					& $f=\frac{1}{T}$\\
     Periode T					& $T=\frac{2\pi}{\omega}$\\
     Kreisfrequenz $\omega$		& $\omega=2\pi f$\\
     Phasenwinkel $\varphi$		& $\varphi = \omega t$\\
 \end{tabular}
\section*{Bezeichnungen}
 \begin{tabular}{l|c}
     Bez. & Feder-Masse-System\\
     \hline
     \emph{Konst.} (Masse)    								& m\\
     \emph{Konst.} (Dämpfung)    							& $c_{d}$\\
     \emph{Konst.} (Federkonstante)    					    & k\\
     Kernkreisfrequenz $\omega_{e}$							& $\omega_{e}=\sqrt{\frac{k}{m}}$\\
     Abklingkoeffizient $\delta$							& $\delta=\frac{c_{d}}{2m}$\\
     Dämpfungsgrad $\vartheta=\frac{\delta}{\omega_{e}}$	& $\vartheta=\frac{c_{d}}{2m\omega_{e}}$\\
     DG der freien Schwingung								& $\ddot{y}+\frac{c_{d}}																					{m}\dot{y}+\frac{k}{m}y=0$
   \end{tabular}\\

\section*{Federn}
  \begin{tabular}{l|c}
  Parallelschaltung & $k_{P} = \sum k_{i} \quad (i=0,1,2,\dotsc,n)$\\
  Seriallschaltung  & $\frac{1}{k_{S}} = \sum \frac{1}{k_{i}} \quad (i=0,1,2,\dotsc,n)$
  \end{tabular}
\end{center}

\section*{Gedämpfte Eigenschwingungen}

Quadratische Lösungsgleichung für die Schwingungs-DG
\begin{equation}
\lambda_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\end{equation}

\subsection*{Schwache Dämpfung (Schwingungsfall)}

\begin{wrapfigure}{l}{0.35\textwidth}
      \includegraphics[width=0.55\textwidth,keepaspectratio]{schwingungsfall}
      \caption{Schwingungsfall}
      \label{fig:schwingungsfall}
\end{wrapfigure}

\begin{align*}
b^{2}-4ac&< 0\\
\delta &< \omega_{e}\\
\vartheta &< 1\\
c_{d} &< 2m\omega_{e}\\
Abklingung &= \pm A e^{-\frac{t}{2}}\\
(mit A&=\sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}})\\
\omega_{d}&=\sqrt{\omega_{e}^{2}-\delta^{2}}\\
\end{align*}

\subsection*{Starke Dämpfung (aperiodischer Kriechvorgang)}

\begin{wrapfigure}{l}{0.35\textwidth}
      \includegraphics[width=0.55\textwidth,keepaspectratio]{aper_kriechvorgang}
      \caption{Aperiodischer Kriechvorgang}
      \label{fig:aper_kriechvorgang}
\end{wrapfigure}

\begin{align*}
b^{2}-4ac &> 0\\
\delta &> \omega_{e}\\
\vartheta &> 1\\
c_{d} &> 2m\omega_{e}\\
\end{align*}

\subsection*{Aperiodischer Grenzfall}

\begin{wrapfigure}{l}{0.35\textwidth}
      \includegraphics[width=0.55\textwidth,keepaspectratio]{aper_grenzfall}
      \caption{Aperiodischer Granzfall}
      \label{fig:aper_grenzfall}
\end{wrapfigure}

\begin{align*}
b^{2}-4ac &= 0\\
\delta &= \omega_{e}\\
\vartheta &= 1\\
c_{d} &= 2m\omega_{e}\\
\end{align*}\\

\subsection*{Resonanzfall}

\subsubsection*{"ohne Dämpfung"}

bei $c_{d}=0$ and $\omega_{e}=\omega_{r}$
\subsubsection*{"mit Dämpfung"}
 \begin{tabular}{l|c}
  Resonanzfrequenz	& $\omega_{r}=\sqrt{\omega_{e}^{2}-2\delta^{2}}$\\
  Resonanzamplitude & $y_{r}=\frac{F}{m}\frac{1}{2\delta \sqrt{\omega_{e}^{2}-\delta^{2}}}$
 \end{tabular}

\end{document}