ich würde gerne die Überschrift "Inhaltsverzeichnis" entfernen und verhindern, dass der Befehl \tableofcontents eine neue Seite anfängt.
Minimalbeispiel
\documentclass[parskip=half,12pt]{scrbook}
\usepackage[left=3cm,right=2cm,top=2.5cm,bottom=2cm, bindingoffset=5mm]{geometry}
\usepackage[ngerman]{babel}
% Times New Roman Schrift (auch Mathe-Modus)
\usepackage{mathptmx}
\addtokomafont{disposition}{\rmfamily} % Schriftart von Kapitel, Unterkapitel etc. gleiche wie Text
% Kopf- und Fußzeile
\usepackage{scrlayer-scrpage}
\pagestyle{scrheadings}
\clearpairofpagestyles
\ihead{\headmark}
\chead{}
\ohead{\pagemark}
\automark[subsection]{chapter}
% 1,5-facher Zeilenabstand
\usepackage{setspace}
\onehalfspacing
% Farben
\usepackage{xcolor}
\definecolor{blue}{RGB}{7.0,91.0,129.0}
\begin{document}
Hier soll noch ein Text stehen, darunter direkt das Inhaltsverzeichnis (ohne Überschrift).
\tableofcontents
\chapter{Halogenhaltige Verbindungen}
\section{Chlorverbindungen}
\subsection{Chlormethane}
\chapter{Alkohole}
\section{Einwertige Alkohole}
\subsection{Ethanol}
\end{document}
Eine mögliche Vorgehensweise wäre, die Überschrift und den Kolumnentitel des Inhaltsverzeichnisses zu entfernen.
\documentclass[parskip=half,fontsize=12pt]{scrbook}
\usepackage[left=3cm,right=2cm,top=2.5cm,bottom=2cm, bindingoffset=5mm]{geometry}
\usepackage[ngerman]{babel}
% Times New Roman Schrift (auch Mathe-Modus)
\usepackage{mathptmx}% oder die Schriften des Pakets newtx
% 1,5-facher Zeilenabstand
\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
% Kopf- und Fußzeile
\usepackage{scrlayer-scrpage}
%\pagestyle{scrheadings}% erledigt das Paket scrlayer-scrpage bereits
\clearpairofpagestyles
\ihead{\headmark}
%\chead{}% wird in diesem Fall und wegen \clearpairofpagestyles nicht benötigt
\ohead{\pagemark}
\automark[subsection]{chapter}
\addtokomafont{disposition}{\rmfamily} % Schriftart von Kapitel, Unterkapitel etc. gleiche wie Text
% Abschnitt 15.2. Erzeugen eines Verzeichnisses in der Anleitung des Klasse
\deftocheading{toc}{%
% Ohne den \chapter-Befehl wird auch keine neue rechte Seite durch \cleardoublepage begonnen.
% \markboth{\contentsname}{\contentsname}%
\thispagestyle{\chapterpagestyle}%
}
\begin{document}
Hier soll noch ein Text stehen, darunter direkt das Inhaltsverzeichnis (ohne Überschrift).
\tableofcontents
\chapter{Halogenhaltige Verbindungen}
\section{Chlorverbindungen}
\subsection{Chlormethane}
\chapter{Alkohole}
\section{Einwertige Alkohole}
\subsection{Ethanol}
\end{document}
Ein Unterschied scheint die Ausgabe der Seitenzahl auf der ersten Seite zu sein. Diese ist beim Gebrauch des Befehls \deftocheading erst dann zu sehen, wenn man das Setzen des Seitenstils für die erste Seite des Inhaltsverzeichnisses in dessen Argument unterlässt.