@Beinschuss: Der Fragesteller verwendet scrarticl - also gibt es keine Kapitel und damit auch keine Kapitelanfangsseiten
. Der verlinkte Thread beantwortet die Frage deshalb nicht.
Im einseitigen Modus gelten alle Seiten als rechte Seiten. Damit wird für \headmark im einseitigen Modus auf allen Seiten \rightmark verwendet und deshalb jeweils die erste auf einer Seite gesetzte rechte Marke in die Kopfzeile eingefügt. Im einseitigen Modus führt
\automark[subsubsection]{subsection}
dazu, dass ein neuer Unterabschnitt (subsection) die rechte und die linke Marke gleich diesem Unterabschnitt setzt. Im zweiseitigen Modus setzt ein neuer Unterabschnitt dagegen nur die linke Marke und leert die rechte. Deshalb steht im einseitigen Dokument der Unterabschnitt in der Kopfzeile während diese im zweisetigen Modus leer bleibt, wenn auf einer rechten Seite vor der ersten Unterunterabschnittsüberschrift noch eine Unterabschnittsüberschrift steht.
Das Kopfzeilenverhalten Deines einseitigen Dokuments kannst Du wie im folgenden Beispiel auf Dein zweiseitiges Dokument übertragen.
\documentclass[fontsize=12pt,twoside]{scrartcl}% twoside besser bei der Klasse angeben
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[a4paper, bindingoffset=0.25cm, margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{blindtext}
\usepackage{scrlayer-scrpage}% aktiviert den Seitenstil scrheadings
\clearpairofpagestyles
\ohead{\rightmark}
\automark[subsection]{subsection}
\automark*[subsubsection]{subsubsection}
\begin{document}
\blinddocument
\Blindtext[10]
\end{document}
Egal, ob ein- oder zweiseitig - wenn Du einen neuen Abschnitt beginnst und der keinen Unterabschnitt enthält oder der erste Unterabschnitt erst auf späteren Seiten beginnt, tauchen in der Kopfzeile solange noch der letzte Unter- bzw. Unterunterabschnitt aus dem vorherigen Abschnitt auf.