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\documentclass{scrartcl}

\usepackage{ifthen}
\newcommand{\bra}[1]{\langle#1|}
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
\newcommand{\braket}[3][\empty]{\ifthenelse{\equal{#1}{\empty}}{\langle#2|#3\rangle}{\langle#2|#1|#3\rangle}} 

\begin{document}

Spaltenvektor: $\ket{a}$ \\
Zeilenvektor: $\bra{b}$ \\
Skalarprodukt: $\braket{a}{b}$ \\
Vektor-Matrix-Vektor-Produkt: $\braket[\hat O]{a}{b}$ \\

Pfeil nach oben: $\ket{\uparrow}$\\
Pfeil nach unten: $\ket{\downarrow}$\\
Pfeil nach links: $\ket{\leftarrow}$\\
Pfeil nach rechts: $\ket{\rightarrow}$


\end{document}

\documentclass{scrartcl}

\usepackage{etoolbox}% eine Alternative zum Paket ifthen

\newcommand{\bra}[1]{\langle#1|}
\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}% <- geändert
\newcommand{\braket}[3][]{
	\ifstrempty{#1}{
		\langle#2|#3\rangle
	}{
		\langle#2|#1|#3\rangle
	}
}

\begin{document}

Spaltenvektor: $\ket{a}$ \\
Zeilenvektor: $\bra{b}$ \\
Skalarprodukt: $\braket{a}{b}$ \\
Vektor-Matrix-Vektor-Produkt: $\braket[\hat O]{a}{b}$ \\

Pfeil nach oben: $\ket{\uparrow}$\\
Pfeil nach unten: $\ket{\downarrow}$\\
Pfeil nach links: $\ket{\leftarrow}$\\
Pfeil nach rechts: $\ket{\rightarrow}$

\end{document}

\documentclass{scrartcl}

%\usepackage{ifthen}
\usepackage{physics}
%\newcommand{\bra}[1]{\langle#1|}
%\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
%\newcommand{\braket}[3][\empty]{\ifthenelse{\equal{#1}{\empty}}{\langle#2|#3\rangle}{\langle#2|#1|#3\rangle}}

\begin{document}

Spaltenvektor: $\ket{a}$ \\
Zeilenvektor: $\bra{b}$ \\
Skalarprodukt: $\braket{a}{b}$ \\
%Vektor-Matrix-Vektor-Produkt: $\braket[\hat O]{a}{b}$ \\
Vektor-Matrix-Vektor-Produkt: $\mel{a}{ \hat O }{b}$ \\

Pfeil nach oben: $\ket{\uparrow}$\\
Pfeil nach unten: $\ket{\downarrow}$\\
Pfeil nach links: $\ket{\leftarrow}$\\
Pfeil nach rechts: $\ket{\rightarrow}$


\end{document}