LaTeX Forum

Wunderst du dich nicht, dass du zwischen Wörtern manuell einen Abstand einfügen musst? Für LaTeX sind das keine Wörter, das ist eine Aneinanderrehung von verschiedenen Variablen.

Hallo Johannes,
danke auch Dir für Deine Antwort. Ich verstehe Dich allerdings nicht so ganz. Mir geht es ja darum das ich eine saubere Mitschrift aus der Übung habe. Ich formatiere meistens hinterher das script noch etwas.
Was verstehst Du unter Trennung von Text und Formaelsatz?
Meinst du ich sollte \text{} in der Matheumgebung benutzen oder jeden align* Umgebung bzw. equation* Umgebung von einander trennen falls ich Text einfüge?
Ich habe jetzt 2 Anfänger Tuts gelesen und durchgearbeitet. Allerdings wusste ich das meiste schon. Und die größten schwächen habe ich immer noch in der Formatierung der Mathe Umgebung. Vielleicht könntest du mir da einen Tip geben wie ich diese besser formatiere?

Kleiner Tipp: Lies eine [url=http://www.dickimaw-books.com/latex/novices/index.html]Einführung in LaTeX[/url]. Darin wirst du lernen, wie man Mathematik und Text richtig voneinander trennt und warum man dies macht.

Versuch nicht in der Vorlesung zu TeXen, das führt zu nix. Mach dir lieber Notizen von Hand, dann wiederholst du das schon beim übertragen in LaTeX.

Zusatztip: Wenn du nicht weißt, wie man etwas schreibt: Frag den Lehrenden, das ist seine Aufgabe.

Hallo,
danke für Deine Antwort.
Ich bekam ganz viele Warnungen. Wegen überhöhter Weite und sowas wie \" oder \ss invalid in Mathmode.
Aber es waren nur Warnungen... Ich bekam halt einfach keine Ausgabe. Ich habe nun Latex komplett neu instaliert und merkwürdigerweise bekam ich dann eine aussgabe... Dann machten auch die Warnungen Sinn.

Hat sich also geklärt. :)

hehe hab es gleich mal überall ersetzt! Werde ich in Zukunft für die Mathelesung wisen :) "Kriterium" ... danke

MfG Jakob

Wenn du verraten würdest, was für Fehler du bekommst, wäre es ja einfacher. Bei mir läuft es in miktex ohne Fehler durch, bei texlive fehlt ulsy.sty

[quote]Majorantenkreterium[/quote]

Kriterium, nicht Kreterium.

\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[german]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ulsy}
\author{Jakob}
\title{Übungsblatt 3 HöMa 1}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\pagebreak
\newcommand{\betrag}[1]{\ensuremath{\left\vert#1\right\vert}}
\newcommand{\gauss}[1]{\ensuremath{\left\lfloor#1\right\rfloor}}
\section{A 21}
\subsection{a}		
		\begin{align*}
		\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n+1)!}{(3n)!}\\
		\\
		In\;einem\;solchen\;Fall\;immer\;Quotientenkreterium\qquad a_n=\frac{(2n+1)!}{(3n)!}\\
		\betrag{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{(2(n+1)+1)!}{(3(n+1)!)}\cdot \frac{(3n)!}{(2n+1)!}\\
		&=\frac{(2n+3)!}{(3n+3)!}\cdot\frac{(3n)!}{(2n+1)!}\\
		&=\frac{(2n+3)(2n+2)(2n+1)!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}\cdot \frac{(3n)!}{(2n+1)!}\\
		&=\frac{1\cdot (2+\frac{3}{n})(2+\frac{2}{n})}{n\cdot (3+\frac{3}{n})(3+\frac{2}{n})(3+\frac{1}{n})}\\
		n\rightarrow \infty \quad 0<1\\
		\Rightarrow \frac{2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3}
		\end{align*}
\subsection{b}
		\begin{align*}
		\sum_{n=1}^\infty \frac{6^n+n^3}{n!}\\
		Wurzelkreterium\\
		\sqrt[n]{\betrag{a_n}}=\sqrt[n]{\frac{6^n+3^n}{n!}}\leq \frac{\sqrt[n]{6^n}+\sqrt[n]{n^3}}{\sqrt[n]{n!}}\quad *\\
		Für\; n\; gerade:\\
		n!=1\cdot 2\cdot ... \cdot \left(\frac{n}{2}-1\right)\frac{n}{2}\cdot ... \cdot n\\
		\geq \left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\\	
		Per\; Induktion:\quad n!\geq \left(\frac{n}{2} \right)^{\frac{n}{2}}\\
		IA:\; n=1\qquad 1!=1\geq \sqrt{\frac{1}{2}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}
		IV:\; Ang.\;n!\geq\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\\
		IS:\; (n+1)!=(n+1)n!\geq \left(\frac{n}{2}\right)(n+1)\\
		=\left(\frac{n+1}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\frac{n}{2}}\cdot 2\left(\frac{n+1}{2}\right)\\
		\geq\left(\frac{n+1}{2}\right)^{\frac{n+1}{2}}\\
		\Rightarrow_Indurktionsprinzip\qquad n!\geq \left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\forall n\in\mathbb{N}/{0}\\
		* \leq\frac{6+\sqrt[n]{n^3}}{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}}}\\
		=\frac{6+\sqrt[n]{n^3}}{\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\rightarrow 0\\
		\Rightarrow Nach\; Wurzelkreterium\; ist\; die\; Reihe\; konvergent
		\end{align*}
\section{A22}
\subsection{a}
		\begin{align*}
		\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}\sqrt{n(n+1)^3}}\\
		Majorantenkreterium\\
		a_n :=\frac{1}{\sqrt[n]{n}\sqrt{n(n+1)^3}}\leq\frac{1}{n^2}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\; konvergiert\\
		Majorantenkreterium\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n\; konvergiert
		\end{align*}
\subsection{b}
		\begin{align*}
		\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}-1 \right)\\
		Majorantenkreterium\\
		a_n\leq\frac{3}{2}\frac{1}{n^2}\\
		Bernonlische\; Ungleichung\\
		1+\frac{3}{n^2}=\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}\geq1+2\left(\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}-1\right)\\
		\Rightarrow a_n=\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}-1\leq\frac{3}{2}\frac{1}{n^2}\\
		da\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\quad konvergiert\quad \Rightarrow \frac{3}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\;konvergiert\\
		Majorantenkreterium\Rightarrow\;\sum_{n=1}^{\infty}a_n \qquad konvergiert
\end{align*}					
\subsection{c}
		\begin{align*}
		\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7^{3n}}{(n^2+1)!}\; Quotientenkreterium\\
		\betrag{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{7^{3n+1}}{((n+1^2)+1)!}\frac{(n^2+1)!}{7^{3n}}=\frac{7^3}{(n^2+2n+2)(n^2+2n+1)...(n^2+2)}\leq\frac{7^3}{n^2+2}\rightarrow 0\\
		Quotientenkreterium\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n\; ist\; konvergent
		\end{align*}
\subsection{d}
		\begin{align*}
		\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}\\
		Wurzelkreterium\\
		\sqrt[n]{(a_n)}=\sqrt[n]{\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}}\rightarrow e^{-1}<1\\
		Wurzelkreterium\Rightarrow\qquad \sum_{n=1}^{\infty}a_n \quad konvergiert\\
		\end{align*}
\section{A23}
	\subsection{a}
		\begin{align*}
		\sum_{k=1}^{\infty}\left( k-\sqrt{k^2+1}\right) x^k\\
		Satz\; 3.38\\
		\betrag{\frac{a_k}{a_{k+1}}}\rightarrow R\;\Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty}a_k x^k\text{konvergiert für}\betrag{x}<R\\
		\text{divergiert für}\betrag{x}>R\\
		a_k&=\left( k-\sqrt{k^2+1}\right) \frac{k+\sqrt{k^2+1}}{k+\sqrt{k^2+1}}\\
		&=\frac{k^2-k^2-1}{k+\sqrt{k^2+1}}\\
		\left( \frac{a_k}{a_{k+1}}\right) &=\frac{1+k+\sqrt{(k+q^2)+1}}{k+\sqrt{k^2+1}}\\
		&=\frac{k(1+\frac{1}{k}+\sqrt{1+\frac{2}{k}+\frac{2}{k^2}})}{k(1+\sqrt{1+\frac{1}{k}})}\\
		\rightarrow \frac{1+\sqrt{1}}{1+\sqrt{1}}\\
		=1=R\qquad \Rightarrow\qquad \sum_{k=1}^{\infty}a_k x^k \text{konvergiert für} |x|<1\\
		\text{divergiert für} |x|>1\\
		x=1\qquad \sum_{k=1}^{\infty}a_k x^k=\sum_{k=1}^{\infty}a_k\qquad a_k=\frac{-1}{k+\sqrt{k^2+1}}\\
		(a_k)\geq\frac{1}{k+\sqrt{k^2+k^2}}=\frac{1}{(1+\sqrt{2})k}\\
		\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\;divergiert\;Minorantenkriterium\\
		\Rightarrow\;\sum_{k=1}^{\infty} -a_k \text{divergiert}\\
		x=-1\qquad \sum_{k=1}^{\infty} a_k(-1)^k = -\sum_{k=1}^{\infty} (-a_k)(-1)^k\\
		(-a_k)\quad \text{ist eine monoton fallende Nullfolge *} \\
		Leibniz \Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}(-a_k)(-1)^k\qquad konvergiert\\ \\
		Zu(*)\quad \frac{1}{k+\sqrt{k^2+1}}\rightarrow 0 \quad klar\\
		\text{Monotonie:} \quad \text{k ist monoton steigend.}\sqrt{k^2+1}\text{ist monton steigend}\\
		\Rightarrow k+\sqrt{k^2+1}\text{monoton steigend}\Rightarrow\frac{1}{k+\sqrt{k^2+1}}\text{ ist mon. fallend}
		\end{align*}
\subsection{b}
		\begin{align*}
		\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2+\sqrt{k}}{(-1)^k k}x^k\\
		3.38\quad \betrag{\frac{a_k}{a_{a+1}}}=\frac{2+\sqrt{k}}{k}\cdot \frac{k+1}{2+\sqrt{k+1}}=\frac{k^{1+\frac{1}{2}}}{k^{1+\frac{1}{2}}}\frac{\frac{2}{\sqrt{k}}+1}{1}\frac{1+\frac{1}{k}}{\frac{2}{\sqrt{k}}+\sqrt{1+\frac{1}{k}}}\\
		\rightarrow 1=R\\
		d.h.\;\sum_{k=1}^{\infty}a_k x^k\qquad konvergiert\;fuer\;|x|<1\\
		divergiert\;fuer\;>1\\
		x=-1\qquad \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2+\sqrt{k}}{(-1)^k k}(-1)^k\\
		\frac{2+\sqrt{k}}{k}>\frac{2}{k}\qquad \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k}\;divergiert\\
		\Rightarrow\;\sum_{k=1}^{\infty}a_k(-1)^k\;divergiert\\
		x=1\quad \sum_{k=1}^{\infty}a_k\qquad a_k=\frac{2\sqrt{k}}{k}(-1)^k\\
		\frac{2+\sqrt{k}}{k}=\frac{2}{k}+\frac{1}{\sqrt{k}}\\
		monoton\;fallend\\
		Leibniz\;\Rightarrow\;\sum_{k=1}^{\infty}a_k\;konvergiert
		\end{align*}
\section{A24}
		\begin{align*}
		\sum_{n=1}^{\infty}a_k\quad konvergiert \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{\infty}2^e a_{2^e}\\
		wobei:\;a_n\;mon.\;fallende\;Nullfolge\\
		Formell:\;\sum_{n=1}^{\infty}a_n&=a_1+\sum_{n=2}^{4-1}+\sum_{n=4}^{8-1}+...\\
		&=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{n=2^l}^{2^{l+1}-1}a_n\\
		\end{align*}
\end{document}

Wenn ich versuche dieses Dokument umzuwandeln bekomme ich viele Fehlermeldungen...
Aber ich bekomme trotz Google und vierl rumprobieren einfach keine Übersetzung.
Könnte ir vielleicht jemand sagen was das Problem ist?
Danke im voraus
MfG Jakob
[code]
\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[german]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ulsy}
\author{Jakob}
\title{Übungsblatt 3 HöMa 1}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\pagebreak
\newcommand{\betrag}[1]{\ensuremath{\left\vert#1\right\vert}}
\newcommand{\gauss}[1]{\ensuremath{\left\lfloor#1\right\rfloor}}
\section{A 21}
\subsection{a}
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n+1)!}{(3n)!}\\
\\
In\;einem\;solchen\;Fall\;immer\;Quotientenkreterium\qquad a_n=\frac{(2n+1)!}{(3n)!}\\
\betrag{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{(2(n+1)+1)!}{(3(n+1)!)}\cdot \frac{(3n)!}{(2n+1)!}\\
&=\frac{(2n+3)!}{(3n+3)!}\cdot\frac{(3n)!}{(2n+1)!}\\
&=\frac{(2n+3)(2n+2)(2n+1)!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}\cdot \frac{(3n)!}{(2n+1)!}\\
&=\frac{1\cdot (2+\frac{3}{n})(2+\frac{2}{n})}{n\cdot (3+\frac{3}{n})(3+\frac{2}{n})(3+\frac{1}{n})}\\
n\rightarrow \infty \quad 0<1\\
\Rightarrow \frac{2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3}
\end{align*}
\subsection{b}
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{6^n+n^3}{n!}\\
Wurzelkreterium\\
\sqrt[n]{\betrag{a_n}}=\sqrt[n]{\frac{6^n+3^n}{n!}}\leq \frac{\sqrt[n]{6^n}+\sqrt[n]{n^3}}{\sqrt[n]{n!}}\quad *\\
Für\; n\; gerade:\\
n!=1\cdot 2\cdot ... \cdot \left(\frac{n}{2}-1\right)\frac{n}{2}\cdot ... \cdot n\\
\geq \left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\\
Per\; Induktion:\quad n!\geq \left(\frac{n}{2} \right)^{\frac{n}{2}}\\
IA:\; n=1\qquad 1!=1\geq \sqrt{\frac{1}{2}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}
IV:\; Ang.\;n!\geq\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\\
IS:\; (n+1)!=(n+1)n!\geq \left(\frac{n}{2}\right)(n+1)\\
=\left(\frac{n+1}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\frac{n}{2}}\cdot 2\left(\frac{n+1}{2}\right)\\
\geq\left(\frac{n+1}{2}\right)^{\frac{n+1}{2}}\\
\Rightarrow_Indurktionsprinzip\qquad n!\geq \left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\forall n\in\mathbb{N}/{0}\\
* \leq\frac{6+\sqrt[n]{n^3}}{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}}}\\
=\frac{6+\sqrt[n]{n^3}}{\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\rightarrow 0\\
\Rightarrow Nach\; Wurzelkreterium\; ist\; die\; Reihe\; konvergent
\end{align*}
\section{A22}
\subsection{a}
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}\sqrt{n(n+1)^3}}\\
Majorantenkreterium\\
a_n :=\frac{1}{\sqrt[n]{n}\sqrt{n(n+1)^3}}\leq\frac{1}{n^2}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\; konvergiert\\
Majorantenkreterium\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n\; konvergiert
\end{align*}
\subsection{b}
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}-1 \right)\\
Majorantenkreterium\\
a_n\leq\frac{3}{2}\frac{1}{n^2}\\
Bernonlische\; Ungleichung\\
1+\frac{3}{n^2}=\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}\geq1+2\left(\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}-1\right)\\
\Rightarrow a_n=\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}-1\leq\frac{3}{2}\frac{1}{n^2}\\
da\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\quad konvergiert\quad \Rightarrow \frac{3}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\;konvergiert\\
Majorantenkreterium\Rightarrow\;\sum_{n=1}^{\infty}a_n \qquad konvergiert
\end{align*}
\subsection{c}
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7^{3n}}{(n^2+1)!}\; Quotientenkreterium\\
\betrag{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{7^{3n+1}}{((n+1^2)+1)!}\frac{(n^2+1)!}{7^{3n}}=\frac{7^3}{(n^2+2n+2)(n^2+2n+1)...(n^2+2)}\leq\frac{7^3}{n^2+2}\rightarrow 0\\
Quotientenkreterium\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n\; ist\; konvergent
\end{align*}
\subsection{d}
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}\\
Wurzelkreterium\\
\sqrt[n]{(a_n)}=\sqrt[n]{\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}}\rightarrow e^{-1}<1\\
Wurzelkreterium\Rightarrow\qquad \sum_{n=1}^{\infty}a_n \quad konvergiert\\
\end{align*}
\section{A23}
\subsection{a}
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{\infty}\left( k-\sqrt{k^2+1}\right) x^k\\
Satz\; 3.38\\
\betrag{\frac{a_k}{a_{k+1}}}\rightarrow R\;\Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty}a_k x^k\text{konvergiert für}\betrag{x}<R\\
\text{divergiert für}\betrag{x}>R\\
a_k&=\left( k-\sqrt{k^2+1}\right) \frac{k+\sqrt{k^2+1}}{k+\sqrt{k^2+1}}\\
&=\frac{k^2-k^2-1}{k+\sqrt{k^2+1}}\\
\left( \frac{a_k}{a_{k+1}}\right) &=\frac{1+k+\sqrt{(k+q^2)+1}}{k+\sqrt{k^2+1}}\\
&=\frac{k(1+\frac{1}{k}+\sqrt{1+\frac{2}{k}+\frac{2}{k^2}})}{k(1+\sqrt{1+\frac{1}{k}})}\\
\rightarrow \frac{1+\sqrt{1}}{1+\sqrt{1}}\\
=1=R\qquad \Rightarrow\qquad \sum_{k=1}^{\infty}a_k x^k \text{konvergiert für} |x|<1\\
\text{divergiert für} |x|>1\\
x=1\qquad \sum_{k=1}^{\infty}a_k x^k=\sum_{k=1}^{\infty}a_k\qquad a_k=\frac{-1}{k+\sqrt{k^2+1}}\\
(a_k)\geq\frac{1}{k+\sqrt{k^2+k^2}}=\frac{1}{(1+\sqrt{2})k}\\
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\;divergiert\;Minorantenkriterium\\
\Rightarrow\;\sum_{k=1}^{\infty} -a_k \text{divergiert}\\
x=-1\qquad \sum_{k=1}^{\infty} a_k(-1)^k = -\sum_{k=1}^{\infty} (-a_k)(-1)^k\\
(-a_k)\quad \text{ist eine monoton fallende Nullfolge *} \\
Leibniz \Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}(-a_k)(-1)^k\qquad konvergiert\\ \\
Zu(*)\quad \frac{1}{k+\sqrt{k^2+1}}\rightarrow 0 \quad klar\\
\text{Monotonie:} \quad \text{k ist monoton steigend.}\sqrt{k^2+1}\text{ist monton steigend}\\
\Rightarrow k+\sqrt{k^2+1}\text{monoton steigend}\Rightarrow\frac{1}{k+\sqrt{k^2+1}}\text{ ist mon. fallend}
\end{align*}
\subsection{b}
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2+\sqrt{k}}{(-1)^k k}x^k\\
3.38\quad \betrag{\frac{a_k}{a_{a+1}}}=\frac{2+\sqrt{k}}{k}\cdot \frac{k+1}{2+\sqrt{k+1}}=\frac{k^{1+\frac{1}{2}}}{k^{1+\frac{1}{2}}}\frac{\frac{2}{\sqrt{k}}+1}{1}\frac{1+\frac{1}{k}}{\frac{2}{\sqrt{k}}+\sqrt{1+\frac{1}{k}}}\\
\rightarrow 1=R\\
d.h.\;\sum_{k=1}^{\infty}a_k x^k\qquad konvergiert\;fuer\;|x|<1\\
divergiert\;fuer\;>1\\
x=-1\qquad \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2+\sqrt{k}}{(-1)^k k}(-1)^k\\
\frac{2+\sqrt{k}}{k}>\frac{2}{k}\qquad \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k}\;divergiert\\
\Rightarrow\;\sum_{k=1}^{\infty}a_k(-1)^k\;divergiert\\
x=1\quad \sum_{k=1}^{\infty}a_k\qquad a_k=\frac{2\sqrt{k}}{k}(-1)^k\\
\frac{2+\sqrt{k}}{k}=\frac{2}{k}+\frac{1}{\sqrt{k}}\\
monoton\;fallend\\
Leibniz\;\Rightarrow\;\sum_{k=1}^{\infty}a_k\;konvergiert
\end{align*}
\section{A24}
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}a_k\quad konvergiert \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{\infty}2^e a_{2^e}\\
wobei:\;a_n\;mon.\;fallende\;Nullfolge\\
Formell:\;\sum_{n=1}^{\infty}a_n&=a_1+\sum_{n=2}^{4-1}+\sum_{n=4}^{8-1}+...\\
&=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{n=2^l}^{2^{l+1}-1}a_n\\
\end{align*}
\end{document}[/code]