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\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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\author{Jakob}
\title{Übungsblatt 3 HöMa 1}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\pagebreak
\newcommand{\betrag}[1]{\ensuremath{\left\vert#1\right\vert}}
\newcommand{\gauss}[1]{\ensuremath{\left\lfloor#1\right\rfloor}}
\section{A 21}
\subsection{a}		
		\begin{align*}
		\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n+1)!}{(3n)!}\\
		\\
		In\;einem\;solchen\;Fall\;immer\;Quotientenkreterium\qquad a_n=\frac{(2n+1)!}{(3n)!}\\
		\betrag{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{(2(n+1)+1)!}{(3(n+1)!)}\cdot \frac{(3n)!}{(2n+1)!}\\
		&=\frac{(2n+3)!}{(3n+3)!}\cdot\frac{(3n)!}{(2n+1)!}\\
		&=\frac{(2n+3)(2n+2)(2n+1)!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}\cdot \frac{(3n)!}{(2n+1)!}\\
		&=\frac{1\cdot (2+\frac{3}{n})(2+\frac{2}{n})}{n\cdot (3+\frac{3}{n})(3+\frac{2}{n})(3+\frac{1}{n})}\\
		n\rightarrow \infty \quad 0<1\\
		\Rightarrow \frac{2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3}
		\end{align*}
\subsection{b}
		\begin{align*}
		\sum_{n=1}^\infty \frac{6^n+n^3}{n!}\\
		Wurzelkreterium\\
		\sqrt[n]{\betrag{a_n}}=\sqrt[n]{\frac{6^n+3^n}{n!}}\leq \frac{\sqrt[n]{6^n}+\sqrt[n]{n^3}}{\sqrt[n]{n!}}\quad *\\
		Für\; n\; gerade:\\
		n!=1\cdot 2\cdot ... \cdot \left(\frac{n}{2}-1\right)\frac{n}{2}\cdot ... \cdot n\\
		\geq \left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\\	
		Per\; Induktion:\quad n!\geq \left(\frac{n}{2} \right)^{\frac{n}{2}}\\
		IA:\; n=1\qquad 1!=1\geq \sqrt{\frac{1}{2}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}
		IV:\; Ang.\;n!\geq\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\\
		IS:\; (n+1)!=(n+1)n!\geq \left(\frac{n}{2}\right)(n+1)\\
		=\left(\frac{n+1}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\frac{n}{2}}\cdot 2\left(\frac{n+1}{2}\right)\\
		\geq\left(\frac{n+1}{2}\right)^{\frac{n+1}{2}}\\
		\Rightarrow_Indurktionsprinzip\qquad n!\geq \left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\forall n\in\mathbb{N}/{0}\\
		* \leq\frac{6+\sqrt[n]{n^3}}{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}}}\\
		=\frac{6+\sqrt[n]{n^3}}{\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\rightarrow 0\\
		\Rightarrow Nach\; Wurzelkreterium\; ist\; die\; Reihe\; konvergent
		\end{align*}
\section{A22}
\subsection{a}
		\begin{align*}
		\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}\sqrt{n(n+1)^3}}\\
		Majorantenkreterium\\
		a_n :=\frac{1}{\sqrt[n]{n}\sqrt{n(n+1)^3}}\leq\frac{1}{n^2}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\; konvergiert\\
		Majorantenkreterium\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n\; konvergiert
		\end{align*}
\subsection{b}
		\begin{align*}
		\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}-1 \right)\\
		Majorantenkreterium\\
		a_n\leq\frac{3}{2}\frac{1}{n^2}\\
		Bernonlische\; Ungleichung\\
		1+\frac{3}{n^2}=\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}\geq1+2\left(\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}-1\right)\\
		\Rightarrow a_n=\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}-1\leq\frac{3}{2}\frac{1}{n^2}\\
		da\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\quad konvergiert\quad \Rightarrow \frac{3}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\;konvergiert\\
		Majorantenkreterium\Rightarrow\;\sum_{n=1}^{\infty}a_n \qquad konvergiert
\end{align*}					
\subsection{c}
		\begin{align*}
		\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7^{3n}}{(n^2+1)!}\; Quotientenkreterium\\
		\betrag{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{7^{3n+1}}{((n+1^2)+1)!}\frac{(n^2+1)!}{7^{3n}}=\frac{7^3}{(n^2+2n+2)(n^2+2n+1)...(n^2+2)}\leq\frac{7^3}{n^2+2}\rightarrow 0\\
		Quotientenkreterium\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n\; ist\; konvergent
		\end{align*}
\subsection{d}
		\begin{align*}
		\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}\\
		Wurzelkreterium\\
		\sqrt[n]{(a_n)}=\sqrt[n]{\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}}\rightarrow e^{-1}<1\\
		Wurzelkreterium\Rightarrow\qquad \sum_{n=1}^{\infty}a_n \quad konvergiert\\
		\end{align*}
\section{A23}
	\subsection{a}
		\begin{align*}
		\sum_{k=1}^{\infty}\left( k-\sqrt{k^2+1}\right) x^k\\
		Satz\; 3.38\\
		\betrag{\frac{a_k}{a_{k+1}}}\rightarrow R\;\Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty}a_k x^k\text{konvergiert für}\betrag{x}<R\\
		\text{divergiert für}\betrag{x}>R\\
		a_k&=\left( k-\sqrt{k^2+1}\right) \frac{k+\sqrt{k^2+1}}{k+\sqrt{k^2+1}}\\
		&=\frac{k^2-k^2-1}{k+\sqrt{k^2+1}}\\
		\left( \frac{a_k}{a_{k+1}}\right) &=\frac{1+k+\sqrt{(k+q^2)+1}}{k+\sqrt{k^2+1}}\\
		&=\frac{k(1+\frac{1}{k}+\sqrt{1+\frac{2}{k}+\frac{2}{k^2}})}{k(1+\sqrt{1+\frac{1}{k}})}\\
		\rightarrow \frac{1+\sqrt{1}}{1+\sqrt{1}}\\
		=1=R\qquad \Rightarrow\qquad \sum_{k=1}^{\infty}a_k x^k \text{konvergiert für} |x|<1\\
		\text{divergiert für} |x|>1\\
		x=1\qquad \sum_{k=1}^{\infty}a_k x^k=\sum_{k=1}^{\infty}a_k\qquad a_k=\frac{-1}{k+\sqrt{k^2+1}}\\
		(a_k)\geq\frac{1}{k+\sqrt{k^2+k^2}}=\frac{1}{(1+\sqrt{2})k}\\
		\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\;divergiert\;Minorantenkriterium\\
		\Rightarrow\;\sum_{k=1}^{\infty} -a_k \text{divergiert}\\
		x=-1\qquad \sum_{k=1}^{\infty} a_k(-1)^k = -\sum_{k=1}^{\infty} (-a_k)(-1)^k\\
		(-a_k)\quad \text{ist eine monoton fallende Nullfolge *} \\
		Leibniz \Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}(-a_k)(-1)^k\qquad konvergiert\\ \\
		Zu(*)\quad \frac{1}{k+\sqrt{k^2+1}}\rightarrow 0 \quad klar\\
		\text{Monotonie:} \quad \text{k ist monoton steigend.}\sqrt{k^2+1}\text{ist monton steigend}\\
		\Rightarrow k+\sqrt{k^2+1}\text{monoton steigend}\Rightarrow\frac{1}{k+\sqrt{k^2+1}}\text{ ist mon. fallend}
		\end{align*}
\subsection{b}
		\begin{align*}
		\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2+\sqrt{k}}{(-1)^k k}x^k\\
		3.38\quad \betrag{\frac{a_k}{a_{a+1}}}=\frac{2+\sqrt{k}}{k}\cdot \frac{k+1}{2+\sqrt{k+1}}=\frac{k^{1+\frac{1}{2}}}{k^{1+\frac{1}{2}}}\frac{\frac{2}{\sqrt{k}}+1}{1}\frac{1+\frac{1}{k}}{\frac{2}{\sqrt{k}}+\sqrt{1+\frac{1}{k}}}\\
		\rightarrow 1=R\\
		d.h.\;\sum_{k=1}^{\infty}a_k x^k\qquad konvergiert\;fuer\;|x|<1\\
		divergiert\;fuer\;>1\\
		x=-1\qquad \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2+\sqrt{k}}{(-1)^k k}(-1)^k\\
		\frac{2+\sqrt{k}}{k}>\frac{2}{k}\qquad \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k}\;divergiert\\
		\Rightarrow\;\sum_{k=1}^{\infty}a_k(-1)^k\;divergiert\\
		x=1\quad \sum_{k=1}^{\infty}a_k\qquad a_k=\frac{2\sqrt{k}}{k}(-1)^k\\
		\frac{2+\sqrt{k}}{k}=\frac{2}{k}+\frac{1}{\sqrt{k}}\\
		monoton\;fallend\\
		Leibniz\;\Rightarrow\;\sum_{k=1}^{\infty}a_k\;konvergiert
		\end{align*}
\section{A24}
		\begin{align*}
		\sum_{n=1}^{\infty}a_k\quad konvergiert \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{\infty}2^e a_{2^e}\\
		wobei:\;a_n\;mon.\;fallende\;Nullfolge\\
		Formell:\;\sum_{n=1}^{\infty}a_n&=a_1+\sum_{n=2}^{4-1}+\sum_{n=4}^{8-1}+...\\
		&=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{n=2^l}^{2^{l+1}-1}a_n\\
		\end{align*}
\end{document}